初中数学竞赛专题梅涅劳斯定理与塞瓦定理有答案文档格式.docx

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如中图，过作交的延长线于

∴，，

三式相乘即得：

．

证法三：

如右图，分别过作的垂线，分别交于．

则有，

所以．

梅涅劳斯定理的逆定理：

若、、分别是的三边、、或其延长线的三点，

如果，则、、三点共线．

夯实基础

【例1】如图，在中，为中线，过点任作一直线交于点，交于点，求证：

1【解析】∵直线是的梅氏线，

∴．而，∴，即．

习题1.在△中，是的中点，经过点的直线交于点，交的延长线于点．求证：

2【解析】直线截三边于、、三点，应用梅氏定理，知，又因为，所以，即．

习题2.如图，在△中，，．为边上的中线，

于点，的延长线交于点．求．

3【解析】由题设，在中，，，

由射影定理．

对和截线，由梅涅劳斯定理，，即．

探索提升

【例2】如图，在中，为中点，，求证：

【解析】∵直线是的梅氏线，

∴，∴

∵直线是的梅氏线，

∴，

∴，．

习题3.如图，在中，为的中点，．求．

【解析】∵是的梅氏线，

∵为的中点，，

∴，∴．

∵是的梅氏线，

【例3】过的重心的直线分别交、于点、，交的延长线于点．

求证：

【解析】作直线交于，

∵，．

同理，，

而

【例4】如图，点、分别在的边、上，，，与交于点，．求．

1【解析】对和截线，由梅氏定理得：

，即，

所以．所以，

进而．

习题4.如图，在中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形的面积为，求的值．

【解析】对和截线，由梅氏定理得：

，即，解得．

【备选】如图，被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分为6个小三角形，

其中三个小三角形的面积如图所示，求的面积．

，即，所以，所以．所以．

非常挑战

【例5】如图，在中，的外角平分线与边的延长线交于点，的平分线与边交于点，的平分线与边交于点，求证：

、、三点共线．

【解析】是的外角平分线，则

①

是的平分线，则

②

③

得

因在上，在上，在的延长线上，

则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：

习题5.证明：

不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．

【解析】如图，分别为三角形的三个外角平分线，分别交于．

过作的平行线，则，

所以是等腰三角形．则．

则有：

同理；

所以共线．

板块二塞瓦定理及其逆定理

塞瓦定理：

如果的三个顶点与一点的连线、、交对边或其延长线于点、、，如图，那么．通常称点为的塞瓦点．

证明：

　∵直线、分别是、的梅氏线，

两式相乘即可得：

塞瓦定理的逆定理：

如果点、、分别在的边、、上或其延长线上，并且，那么、、相交于一点（或平行）．

　⑴若与相交于一点时，如图，作直线交于．

由塞瓦定理得：

，

又已知，∴，

∴与重合

∴、、相交于一点．

⑵若与所在直线不相交，则∥，如图．

∴，又已知，

∴，即．

说明：

三线平行的情况在实际题目中很少见．

【例6】

（1）设是的三条中线，求证：

三线共点．

（2）若为的三条内角平分线．求证：

4【解析】

（1）由条件知，．∴，

根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线共点．

这个点称为这个三角形的重心．

（2）由三角形内角平分线定理得：

三式分别相乘，得：

根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线共点，

这个点称为这个三角形的内心．

习题6.若分别为锐角的三条高线，求证：

5【解析】由得：

；

由得：

由可得：

．所以．

根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线共点．

对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．

【例7】如图，为内的一点，与交于点，与交于点，若通过的中点，求证：

6【解析】对和点应用塞瓦定理可得：

．又因为，所以．进而，所以．

习题7.如果梯形的两腰、的延长线交于，两条对角线交于．求证：

直线必平分梯形的两底．

【解析】∵

∴

∵（由塞瓦定理得）

∵，∴．

板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合

【备选】如图，、分别为的、边上的点，且，，

、交于点，的延长线交于点．求的值．

【解析】∵为的塞瓦点．

∵为的梅氏线，

【备选】如图，四边形的对边和，和分别相交于点，对角线与交于点．直线与、分别交于点．

【解析】对与点应用塞瓦定理得：

对和截线应用梅涅劳斯定理可得：

进而可得．