高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词Word文档下载推荐.docx

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命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，¬

p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，¬

p（x）

诊断自测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×

”）　精彩PPT展示

（1）命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．（×

）

（2）若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（√）

（3）已知命题p：

∃n0∈N,2n0＞1000，则¬

p：

∃n0∈N，2n0≤1000.（×

（4）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”．（×

2．（xx·

重庆卷）已知命题p：

对任意x∈R，总有|x|≥0；

q：

x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧¬

qB．¬

p∧q

C．¬

p∧¬

qD．p∧q

解析　由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故¬

q为真命题，所以p∧¬

q为真命题．

答案　A

3．（xx·

湖南卷）设命题p：

∀x∈R，x2＋1＞0，则¬

p为（　　）

A．∃x0∈R，x＋1＞0B．∃x0∈R，x＋1≤0

C．∃x0∈R，x＋1＜0D．∀x∈R，x2＋1≤0

解析　“∀x∈R，x2＋1＞0”的否定为“∃x0∈R，x＋1≤0”，故选B.

答案　B

4．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析　当a＝0时，不等式显然成立；

当a≠0时，由题意知得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.

答案　[－8,0]

5．（人教A选修1－1P26A3改编）给出下列命题：

①∀x∈N，x3＞x2；

②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

③∃x0∈R，x－x0＋1≤0；

④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．

则以上命题的否定中，真命题的序号为________．

答案　①②③

考点一　含有逻辑联结词的命题及其真假判断

【例1】

（1）（xx·

辽宁卷）设a，b，c是非零向量．已知命题p：

若a·

b＝0，b·

c＝0，则a·

c＝0；

命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（　　）

A．p∨qB．p∧q

C．（¬

p）∧（¬

q）D．p∨（¬

q）

（2）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）

A．（¬

p）∨（¬

q）B．p∨（¬

q）D．p∨q

解析　

（1）由于a，b，c都是非零向量，

∵a·

b＝0，∴a⊥b.∵b·

c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·

c≠0，∴命题p是假命题，∴¬

p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；

b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则¬

q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，（¬

q），p∨（¬

q）都是假命题．

（2）命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：

“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.

答案　

（1）A　

（2）A

规律方法　若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．

【训练1】

（1）若命题p：

函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞），则（　　）

A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题

p是真命题D．¬

q是真命题

（2）“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．

深度思考　常常借助集合的“并、交、补”的意义来理解由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题，你清楚吗？

解析　

（1）因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），所以p是真命题；

因为函数y＝x－的单调递增区间（－∞，0）和（0，＋∞），所以q是假命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬

p为假命题，¬

q为真命题，故选D.

（2）若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．

若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．

答案　

（1）D　

（2）必要不充分

考点二　全（特）称命题的否定及其真假判定

【例2】

（1）（xx·

安徽卷）命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是（　　）

A．∀x∈R，|x|＋x2＜0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x0∈R，|x0|＋x＜0D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0

（2）（xx·

沈阳质量监测）下列命题中，真命题的是（　　）

A．∀x∈R，x2＞0B．∀x∈R，－1＜sinx＜1

C．∃x0∈R,2x0＜0D．∃x0∈R，tanx0＝2

解析　

（1）全称命题的否定是特称命题，即命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x＜0”．故选C.

（2）∀x∈R，x2≥0，故A错；

∀x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；

∀x∈R,2x＞0，故C错，故选D.

答案　

（1）C　

（2）D

规律方法　

（1）对全（特）称命题进行否定的方法有：

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；

②对原命题的结论进行否定．

（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；

要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立．

【训练2】命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（　　）

A．对任意实数x，都有x＞1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

解析　“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.

答案　C

考点三　与逻辑联结词、全（特）称命题有关的参数问题

【例3】已知p：

∃x∈R，mx2＋1≤0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（－∞，－2]

C．（－∞，－2]∪[2，＋∞）D．[－2,2]

解析　依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；

当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.

规律方法　以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“¬

p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．

【训练3】已知命题p：

“∀x∈[0,1]，a≥ex”；

“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；

由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

答案　[e,4]

微型专题　利用逻辑关系判断命题真假

xx年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．

【例4

（1）（xx·

新课标全国Ⅰ卷）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：

我没去过C城市；

丙说：

我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

（2）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：

甲：

中国非第一名，也非第二名；

乙：

中国非第一名，而是第三名；

丙：

中国非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．

点拨　找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．

解析　

（1）由题意可推断：

甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.

（2）由上可知：

甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．

答案　

（1）A　

（2）一

点评　在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.

[思想方法]

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．

2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：

p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与¬

p→真假相反．

3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．

[易错防范]

1．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；

“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

2．命题的否定包括：

（1）对“若p，则q”形式命题的否定；

（2）对含有逻辑联结词命题的否定；

（3）对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.

词语

词语的否定

等于

不等于

大于

不大于（或小于等于）

小于

不小于（或大于等于）

是

不是

一定是

不一定是

都是

不都是（至少有一个不是）

必有一个

一个也没有

任意的

某一个

且

或

至多有一个

至少有两个

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．（xx·

湖北卷）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（　　）

A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝x

C．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x

解析　原命题的否定为“∃x∈R，x2＝x”．

答案　D

天津卷）已知命题p：

∀x＞0，总有（x＋1）ex＞1，则¬

A．∃x0≤0，使得（x0＋1）ex0≤1

B．∃x0＞0，使得（x0＋1）ex0≤1

C．∀x＞0，总有（x＋1）ex≤1

D．∀x≤0，总有（x＋1）ex≤1

解析　命题p为全称命题，所以¬

∃x0