高考数学一轮复习专题35一元二次不等式及其解法教学案理文档格式.docx
《高考数学一轮复习专题35一元二次不等式及其解法教学案理文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习专题35一元二次不等式及其解法教学案理文档格式.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
ax2+bx+c<
{x|x1<
x<
∅
2.(x-a)(x-b)>
0或(x-a)(x-b)<
0型不等式的解法
不等式
解集
a<
b
a=b
a>
(x-a)·
(x-b)>
a或x>
b}
{x|x≠a}
b或x>
a}
(x-b)<
{x|a<
x<
{x|b<
口诀:
大于取两边,小于取中间.
高频考点一 一元二次不等式的求解
例1、求不等式-2x2+x+3<
0的解集.
【解析】 化-2x2+x+3<
0为2x2-x-3>
0,
解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=,
∴不等式2x2-x-3>
0的解集为(-∞,-1)∪(,+∞),
即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(,+∞).
【变式探究】解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R).
【方法规律】含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论:
(1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;
若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
【举一反三】求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
【解析】 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
得:
x1=-,x2=.
①a>0时,-<,解集为;
②a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0};
③a<0时,->,解集为.
综上所述,当a>0时,不等式的解集为
;
当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};
当a<0时,不等式的解集为.
高频考点二 一元二次不等式恒成立问题
例2、若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)
【答案】 D
【变式探究】设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<
-m+5恒成立,求m的取值范围.
【解析】 要使f(x)<
-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即
m2+m-6<
0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
方法一 令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
当m>
0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<
所以m<
,所以0<
m<
当m=0时,-6<
0恒成立;
当m<
0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g
(1)⇒m-6<
0,所以m<
6,所以m<
0.
综上所述:
m的取值范围是{m|m<
}.
方法二 因为x2-x+1=2+>
又因为m(x2-x+1)-6<
.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<
即可.
所以,m的取值范围是.
【举一反三】设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是________.
【答案】
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g
(1)=m-6<0.
所以m<6,所以m<0.
综上所述,m的取值范围是.
法二 因为x2-x+1=+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
因为m≠0,所以m的取值范围是
【感悟提升】
(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
【变式探究】
(1)若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]
(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是______.
【答案】
(1)A
(2)
高频考点三 一元二次不等式的应用
例3、某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.
【解析】
(1)由题意得,y=100·
100.
因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0.
所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为x∈[0,2].
(2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10260,
化简得8x2-30x+13≤0.解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
【感悟提升】求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.
(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.
【变式探究】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<
1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×
年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?
1.【2015高考山东,理5】不等式的解集是()
(A)(-,4)(B)(-,1)(C)(1,4)(D)(1,5)
【答案】A
【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;
解(I)得:
解(II)得:
解(III)得:
所以,原不等式的解集为.故选A.
2.【2015高考江苏,7】不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由题意得:
,解集为
3.(2014·
全国卷)设集合M={x|x2-3x-4<
0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=( )
A.(0,4]B.[0,4)
C.[-1,0)D.(-1,0]
【答案】B
【解析】因为M={x|x2-3x-4<
0}={x|-1<
4},N={x|0≤x≤5},所以M∩N={x|-1<
4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<
4}.
4.(2014·
新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-6)∪(6,+∞)
B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【答案】C
5.(2013·
安徽卷)已知一元二次不等式f(x)<
0的解集为
-1或x>
,则f(10x)>
0的解集为( )
A.{x|x<
-lg2}
B.{x|-1<
-lg2}
C.{x|x>
D.{x|x<
【答案】D
【解析】根据已知可得不等式f(x)>
0的解是-1<
,故-1<
10x<
,解得x<
-lg2.
6.(2013·
广东卷)不等式x2+x-2<
0的解集为________.
【答案】{x|-2<
1}
【解析】x2+x-2=(x+2)(x-1)<
0,解得-2<
1.故不等式的解集是{x|-2<
1}.
7.(2013·
四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<
5的解集是________.
(-7,3)
8.(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0]B.(-∞,1]
C.[-2,1]D.[-2,0]
【答案】D
【解析】:
当x≤0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,所以|f(x)|≥ax化简为x2-2x≥ax,即x2≥(a+2)x,因为x≤0,所以a+2≥x恒成立,所以a≥-2;
当x>
0时,f(x)=ln(x+1)>
0,所以|f(x)|≥ax化简为ln(x+1)>
ax恒成立,由函数图象可知a≤0,综上,当-2≤a≤0时,不等式|f(x)|≥ax恒成立,选择D.
1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为( )
A.{x|1≤x≤2}B.{x|x≤1或x≥2}
C.{x|1<
2}D.{x|x<
1或x>
2}
【答案】 A
【解析】 由(x-1)(2-x)≥0可知(x-2)(x-1)≤0,
所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}.
2.已知函数f(x)=
则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A.[-1,1]B.[-2,2]
C.[-2,1]D.[-1,2]
3.若集合A={x|ax2-ax+1<
0}=∅,则实数a的取值范围是( )
A.{a|0<
4}B.{a|0≤a<
4}
C.{a|0<
a≤4}D.{a|0≤a≤4}
【解析】 由题意知a=0时,满足条件.
a≠0时,由
得0<
a≤4,所以0≤a≤4.
4.已知不等式x2-2x-3<
0的解集为A,不等式x2+x-6<
0的解集是B,不等式x2+ax+b<
0的解集是A∩B,那么a+b等于( )
A.-3B.1
C.-1D.3
【解析】 由题意,A={x|-1<
3},B={x|-3<
2},A∩B={x|-1<
2},
则不等式x2+ax+b<
0的解集为{x|-1<
2}.
由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,
所以a+b=-3,故选A.
5.设a>
0,不等式-c<
ax+b<
c的解集是{x|-2<
1},则a∶b∶c等于( )
A.1∶2∶3B.2∶1∶3
C.3∶1∶2D.3∶2∶1
【答案】 B
6.若不等式mx2+2mx-4<
2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,2]B.(-2,2)
C.