高考数学理二轮精选练习专题7 概率与统计 专题跟踪训练29Word文档下载推荐.docx

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3．（2018·

河南濮阳二模）如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（　　）

[详细分析]　灯泡不亮包括两种情况：

①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开，∴灯泡不亮的概率是×

×

＋×

＝，∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1－＝，故选C.

[答案]　C

4．（2018·

河南安阳一模）在边长为a的正三角形内任取一点Q，则点Q到三个顶点的距离均大于的概率是（　　）

A.－πB．1－π

C.D.

[详细分析]　设边长为a的正三角形为三角形ABC，如图所示：

∵AB＝a，∴S三角形ABC＝·

a2·

sin＝a2，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于或等于的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为的半圆，

∴S阴影＝·

π·

2＝，

∴使点Q到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率P＝1－＝1－π.故选B.

5．在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为（　　）

[详细分析]　设事件A为“数字4是取出的五个不同数的中位数”．“从八个数字中取出五个数字”的种数为n＝C＝C＝56.对事件A，先考虑数字4在五个数的中间位置，再考虑分别从数字1,2,3和5,6,7,8中各取两个数字，则事件A包含的基本事件种数为m＝CC＝3×

6＝18.

由古典概型的概率计算公式，得P（A）＝＝＝.

6．（2018·

重庆一中一模）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（　　）

[详细分析]　根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子的放法为44＝256.若没有空盒，有A＝24（种）放法，有1个空盒的放法有CCA＝144（种），有3个空盒的放法有C＝4种，则至少有一个盒子为空的放法有256－24＝232（种），故“至少有一个盒子为空”的概率p1＝，恰好有两个盒子为空的放法有256－24－144－4＝84（种），故“恰好有两个盒子为空”的概率p2＝，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p＝＝.故选A.

二、填空题

7．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．

[详细分析]　解法一：

设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P（B|A），

因为P（AB）＝，P（A）＝，

所以P（B|A）＝＝＝.

解法二：

第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为.

[答案]　

8.（2018·

青岛模拟）如图所示的阴影部分是由x轴，直线x＝1及曲线y＝ex－1围成的，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是__________．

[详细分析]　由几何概型的概率计算公式可知，所求概率为＝.

9．（2018·

皖南八校联考）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D（ξ）＝________.

[详细分析]　从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝.所以ξ的数学期望E（ξ）＝1×

＋2×

＋3×

＝2，D（ξ）＝（1－2）2×

＋（2－2）2×

＋（3－2）2×

＝.

三、解答题

10．（2018·

广州综合测试）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

[解]　

（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝＝.

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.

（2）随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

P（X＝k）＝（k＝0,1,2,3）．

所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.

所以随机变量X的分布列是

X

1

2

3

P

随机变量X的数学期望E（X）＝0×

＋1×

11．某学校组织知识测试，设置A，B，C三组测试项目供参赛同学选择．甲、乙、丙三名同学参加比赛，其中甲参加A组测试，甲通过测试的概率为；

乙参加B组测试，乙通过测试的概率为；

丙参加C组测试，C组共有6道试题，丙只能答对其中4道题．根据规则，丙只能且必须选择4道题作答，至少答对3道才能通过测试．

（1）求丙通过测试的概率．

（2）记A，B，C三组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

[解]　

（1）设丙通过测试为事件A，

则P（A）＝＝.

（2）依题意得，1－＝，1－＝，1－＝，ξ的可能取值为0,1,2,3，则有

P（ξ＝0）＝×

＝，

P（ξ＝1）＝×

P（ξ＝2）＝×

P（ξ＝3）＝×

则ξ的分布列为

ξ

所以ξ的期望E（ξ）＝0×

12．（2018·

南昌第一次质检）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

类型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

数量

10

5

20

15

以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a＝950.记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；

（数学期望值保留到个位数字）

（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：

①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；

②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．

[解]　

（1）由题意可知，X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.

由统计数据可知：

P（X＝0.9a）＝，P（X＝0.8a）＝，P（X＝0.7a）＝，P（X＝a）＝，P（X＝1.1a）＝，P（X＝1.3a）＝.

所以X的分布列为

0.9a

0.8a

0.7a

a

1.1a

1.3a

所以E（X）＝0.9a×

＋0.8a×

＋0.7a×

＋a×

＋1.1a×

＋1.3a×

＝＝≈942.

（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P＝3＋C2＝.

②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为－5000,10000.

所以Y的分布列为

Y

－5000

10000

所以E（Y）＝－5000×

＋10000×

＝5000，

所以该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌的二手车获得利润的期望值为100×

E（Y）＝500000元．