20届高考数学理二轮复习 第2部分 专题7 第1讲坐标系与参数方程Word格式.docx

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（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；

（2）射线OP：

θ＝（ρ≥0）与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长.

解　

（1）在x＋y＝5中，

令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

得ρcosθ＋ρsinθ＝5，

化简得2ρsin＝5，

即为直线l的极坐标方程.

由ρ＝4sinθ得ρ2＝4ρsinθ，

又ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，

所以x2＋y2＝4y，

即x2＋（y－2）2＝4，

即为圆C的直角坐标方程.

（2）由题意知ρA＝4sin 

＝2，

ρB＝＝5，

所以|AB|＝|ρA－ρB|＝3.

热点二　简单曲线的参数方程

1.直线的参数方程

过定点M（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）.

2.圆的参数方程

圆心为点M（x0，y0），半径为r的圆的参数方程为（θ为参数）.

3.圆锥曲线的参数方程

（1）椭圆＋＝1（a>

b>

0）的参数方程为（θ为参数）.

（2）抛物线y2＝2px（p>

0）的参数方程为（t为参数）.

4.

（1）参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；

（2）充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍.

例2　（2019·

聊城模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），倾斜角为α的直线l经过点P（0，）.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；

（2）若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|PM|＋|PN|的最大值.

解　

（1）由（θ为参数）消去θ得＋y2＝1，

所以曲线C的普通方程为＋y2＝1，

直线l的参数方程为（t为参数）.

（2）将直线l的参数方程（t为参数）

代入到＋y2＝1中并整理得，

t2＋2tsinα＋1＝0，

设M，N对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－，t1t2＝>

0，

∴t1，t2同号，

∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|

＝＝

≤＝，

，

∴|PM|＋|PN|的最大值为.

跟踪演练2　（2018·

全国Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，－）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.

解　

（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点.

当α≠时，记tanα＝k，

则l的方程为y＝kx－.

l与⊙O交于两点当且仅当<

1，

解得k<

－1或k>

即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

（2）l的参数方程为

.

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，

则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.

又点P的坐标（x，y）满足

所以点P的轨迹的参数方程是

热点三　极坐标方程与参数方程的综合应用

解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.

例3　（2019·

衡阳调研）在直角坐标系xOy中，设P为⊙O：

x2＋y2＝9上的动点，点D为P在x轴上的投影，动点M满足2＝，点M的轨迹为曲线C.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝2，点A（ρ1,0），B为直线l上两点.

（1）求曲线C的参数方程；

（2）是否存在M，使得△MAB的面积为8？

若存在，有几个这样的点？

若不存在，请说明理由.

解　

（1）设P（3cosα，3sinα），M（x，y），则D（3cosα，0）.

由2＝，得

即曲线C的参数方程为

（2）依题意，直线l：

x＋y－4＝0，

设点M（3cosα，sinα），

设点M到直线l的距离为d，

d＝

＝≥.

将θ＝0，代入ρsin＝2，

得ρ1＝4，ρ2＝4，

|AB|＝＝8.

S△MAB＝|AB|d≥4，

∵8>

4，故存在符合题意的点M，且存在两个这样的点.

跟踪演练3　（2019·

烟台模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）设点P（1，－），直线l与曲线C相交于A，B两点，求＋的值.

解　

（1）直线l的普通方程为x＋y＋2＝0；

因为ρ2＝，

所以2ρ2－ρ2cos2θ＝8，

将x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2，代入上式，

可得x2＋2y2＝8，即＋＝1.

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，

可得5t2－12t－4＝0，

设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝，t1t2＝－.

于是＋＝＝

＝＝4.

真题体验

（2019·

全国Ⅰ，理，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋

ρsinθ＋11＝0.

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值.

解　

（1）因为－1<

≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1（x≠－1）.

l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.

（2）由

（1）可设C的参数方程为（α为参数，－π<

α<

π）.

C上的点到l的距离为

＝.

当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，

故C上的点到l距离的最小值为.

押题预测

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ＋1＝0，曲线C的参数方程为（α为参数）.

（1）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；

（2）直线l与曲线C交于A，B两点，已知点M（1,1），求|MA|·

|MB|的值.

解　

（1）设曲线C上任意一点N（2cosα，sinα），

直线l：

x－2y＋1＝0，

则点N到直线l的距离d＝

＝≤，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为.

（2）设直线l的倾斜角为θ，

则由

（1）知tanθ＝，

∴cosθ＝，sinθ＝.

∴直线l的参数方程为（t为参数），

曲线C：

＋＝1，

联立方程组，消元得t2＋4t－5＝0，

设方程两根为t1，t2，则t1t2＝－，

由t的几何意义，得|MA|·

|MB|＝－t1t2＝.

A组　专题通关

1.（2019·

贵州普通高等学校招生考试）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t≥0），在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2，C3的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－＝0，ρ（cosθ＋sinθ）＝.

（1）判断C2，C3的位置关系，并说明理由；

（2）若tanα＝（0≤α≤π），C1分别与C2，C3交于M，N两点，求|MN|.

解　

（1）由C2：

ρ2－2ρcosθ－＝0，

可得x2＋y2－2x－＝0，

即C2是圆心为（1,0），半径为的圆；

又C3：

ρ（cosθ＋sinθ）＝，

可得x＋y－＝0，即C3是一条直线，

因为圆心（1,0）到直线C3的距离d＝＝<

，即d<

r，

所以圆C2与直线C3相交.

（2）由tanα＝（0≤α≤π），

得sinα＝，cosα＝，

由

得ρ2－ρ－＝0，

解得ρ1＝2，ρ2＝－（舍去），

得ρ3＝，

解得ρ3＝1，

故|MN|＝|ρ1－ρ3|＝1.

2.（2019·

全国Ⅲ）如图，在极坐标系Ox中，A（2,0），B，C，D（2，π），弧所在圆的圆心分别是（1,0），，（1，π），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标.

解　

（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，

ρ＝－2cosθ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，

M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，

M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.

（2）设P（ρ，θ），由题设及

（1）知

若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；

若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；

若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.

综上，P的极坐标为或或或.

3.（2019·

陕西八校联考）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α<

（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

（2）若直线l经过点（1,0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长.

解　

（1）将曲线C的极坐标方程ρ＝化为

ρ2sin2θ＝4ρcosθ，

得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，

故曲线C是顶点为O（0,0），焦点为F（1,0）的抛物线.

（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α<

故l经过点（0,1）；

若直线l经过点（1,0），则α＝，

∴直线l的参数方程为

（t为参数）.

代入y2＝4x，得t2＋6t＋2＝0，

Δ＝（6）2－2×

4＝64>

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－6，t1t2＝2.

|AB|＝|t1－t2|＝

＝＝8.

B组　能力提高

4.（2019·

六安模拟）已知曲线E的极坐标方程为ρ＝，倾斜角为α的直线l过点P（2,2）.

（1）求曲线E的直角坐标方程和直线l的参数方程；

（2）设l1，l2是过点P且关于直线x＝2对称的两条直线，l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点.求证：

|PA|∶|PD|＝|PC|∶|PB|.

（1）解　由题意知，曲线E的直角坐标方程为x2＝4y（x≠0），

（2）证明　因为l1，l2关于直线x＝2对称，

所以l1，l2的倾斜角互补，

设l