机械原理基本杆组分析法.docx

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机械原理基本杆组分析法

机械原理

机构运动分析基本杆组法

上

机

指

导

书

Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计

随着计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。

解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。

本文采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。

1.单杆运动分析子程序

　　单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P1P2P3的边长l、r夹角α以及构件上某基点P1的运动参数x1，y1，x’1，y’1，x’’1，y’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ’，θ’’，要求确定构件上点P2和P3的运动参数。

　　显然，由图1可得下列关系式：

x2=x1+lcosθ，y2=y1+lsinθ

x’2=x’1-lsinθθ’，y’2=y’1+lcosθθ’

x’’2=x’’1-lsinθθ’’-lcosθθ’2,y’’2=y’’1+lcosθθ’’-lsinθθ’2

x3=x1+rcos（θ+α），y3=y1+rsin（θ+α）

x’3=x’1-（y3-y1）θ’，y’3=y’1+（x3-x1）θ’

x’’3=x’’1-（y3-y1）θ’’-（x3-x1）θ’2,y’’3=y’’1+（x3-x1）θ’’-（y3-y1）θ’2

由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。

图1

　　2.RRR杆组运动分析子程序

图2所示RRRⅡ级杆组中，杆长l1，l2及两外接转动副中心P1，P2的坐标、速度、加速度分量为x1，x’1，x’’1，y1，y’1，y’’1，x2，x’2，x’’2，y2，y’2，y’’2，要求确定两杆的角度、角速度和角加速度θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2。

1）位置分析

将已知P1P2两点的坐标差表示为：

u=x2-x1，v=y2-y1

（1）

杆l1及l2投影方程式为：

l1cosθ1-l2cosθ2=u

l1sinθ1-l2sinθ2=v

（2）

消去θ1得：

vsinθ2+ucosθ2+c=0（3）

其中：

c=（u2+v2+l22-l12）/2l2

解式（3）可得：

tan（θ2/2）=（v±）/（u-c）（4）

式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。

图2

由式

（2）可得：

tanθ1=（v+l2sinθ2）/（u+l2cosθ2）（5）

2）速度分析

对式

（2）求导一次得：

A1θ’1+A3θ’2=u’，A2θ’1+A4θ’2=v’　　　（6）

其中：

A1=-l1sinθ1，A2=l1cosθ1，A3=l3sinθ2，A4=-l2cosθ2

解式（6）可得：

ω1=θ’1=（A4u’-A3v’）/D，ω2=θ’2=（A1v’-A2u’）/D　　　（7）

其中：

D=A1A4-A2A3=l1l2sin（θ1-θ2）

3）加速度分析

对式（6）求导一次得：

A1θ’’1+A3θ’’2=E，A2θ’’1+A4θ’’2=F　　　（8）

其中：

E=u’’+A2θ’12+A4θ’22，F=v’’-A1θ’12-A3θ’22

解式（8）可得：

α1=θ’’1=（A4E-A3F）/D，α2=θ’’2=（A1F-A2E）/D　　　（9）

由上述式子可设计出RRR杆组运动分析子程序（见程序单）。

3.RRP杆组运动分析子程序

图3所示RRPⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线P2P3的方向角变量（θ2，θ’2，θ’’2），P2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量l2，θ1，l’2，θ’1，l’’2，θ’’1。

1）位置分析

由于θ2已知，l2待求，将式

（2）消去θ1可得：

l22+2（ucosθ2+vsinθ2）l2+（u2+v2-l12）=0

由此解得：

l2=-（ucosθ2+vsinθ2）±

（10）

式中+号用于转动副中心P3处在P2H线段之外（

图3中m=+1的位置），-号用于P3处在P2H线段

之内（图3中m=-1的位置）。

　θ1由式（5）而定。

2）速度分析

　　对式

（2）求导一次得：

图3

A1θ’1+A5l’2=G，A2θ’1+A6l’2=H（11）

其中：

A1，A2同前，A5=-cosθ2，A6=-sinθ2，G=u’+l2A6θ’2，H=v’-l2A5θ’2

　　解式（11）可得：

ω1=θ’1=（A6G-A5H）/D8，l’2=（A1H-A2G）/D8　（12）

其中：

D8=A1A6-A2A5=l1cos（θ1-θ2）

3）加速度分析

对式（11）求导一次得：

A1θ’’1+A5l’’2=E1，A2θ’’1+A6l’’2=F1　（13）

其中：

E1=u’’+A2θ’12+2A6l’2θ’2+l2A5θ’22+l2A6θ’’2

F1=v’’-A1θ’12-2A5l’2θ’2+l2A6θ’22-l2A5θ’’2

解式（13）可得：

α1=θ’’1=（A6E1-A5F1）/D8，l’’2=（A1F1-A2E1）/D8　（14）

由上述式子可设计出RRP杆组运动分析子程序（见程序单）。

4.RPR杆组运动分析子程序

图4所示RPRⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动，l1为P1点至导路的垂直距离，P2为过P2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w（当P2与P1在导路同侧时，w取正，在异侧时，w取负），要求确定运动变量l2，θ1，θ2，l’2，θ’1，θ’2，l’’2，θ’’1，θ’’2。

1）位置分析

θ1与θ2的关系为：

θ2=θ1±π/2（15）

式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两

位置。

　　l1与l2有如下关系：

（16）

由式（4）和式（16）可得：

tan（θ2/2）=[v±（l1-w）]/（u-l2）（17）

2）速度分析

由于θ’1=θ’2，引进符号θ’i（i=1,2），对

式

（2）求导一次得：

A7θ’i+A5l’2=u’，A8θ’i+A6l’2=v’（18）

其中：

A7=-（l1-w）sinθ1+l2sinθ2

A8=（l1-w）cosθ1-l2cosθ2图4

解式（18）可得：

ωi=θi=（A6u’-A5v’）/（-l2），l’2=（A7v’-A8u’）/（-12）　（19）

3）加速度分析

对式（18）求导一次得：

A7θ’’i+A5l’’2=E2，A8θ’’i+A6l’’2=F2　（20）

其中：

E2=u’’+A8θ’i2+2A6l’2θ’i，F2=v’’-A7θ’i2-2A5l’2θ’i

解式（20）可得：

αi=θ’’i=（A6E2-A5F2）/（-l2），l’’2=（A7F2-A8E2）/（-l2）　（21）

由上述式子可设计出RPR杆组运动分析子程序（见程序单），在子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。

m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。

5．PRP杆组运动分析子程序

图5所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及P3点的运动（x3，x’3，x’’3，y3，y’3，y’’3）。

1）位置分析

推导l1，及l2的方程式：

x1+l1cosθ1+h1sinθ1=x2+l2cosθ2-h2sinθ2

y1+l1sinθ1-h1cosθ1=y2+l2sinθ2+h2cosθ2

整理得：

l1cosθ1-l2cosθ2=E1

l1sinθ1-l2sinθ2=F1（22）

其中：

E1=u-A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，

A1=cosθ1，A2=cosθ2，A3=sinθ1，A4=sinθ2。

由于θ1，θ2均已知，由此解得：

l1=（F1cosθ2-E1sinθ2）/D8

l2=（F1cosθ1-E1sinθ1）/D8（23）

其中：

D8=A2A3-A1A4=sin（θ1-θ2）

P3点的位置为：

x3=x1+l1cosθ1+h1sinθ1

y3=y1+l1sinθ1-h1cosθ1（24）

2）速度分析

对式（22）求导一次，整理得：

l’1cosθ1-l’2cosθ2=E2图5

l’1sinθ1-l’2sinθ2=F2（25）

其中：

E2=u’+A6θ’1–A8θ’2，F2=v’-A5θ’1–A7θ’2，A5=l1cosθ1+h1sinθ1，

A6=l1sinθ1-h1cosθ1，A7=l2cosθ2-h2sinθ2，A8=l2sinθ2+h2cosθ2。

由（25）解得：

l’1=（F2cosθ2-E2sinθ2）/D8

l’2=（F2cosθ1-E2sinθ1）/D8（26）

P3点的速度为对式（24）求导得：

x’3=x’1+l’1cosθ1+A6θ’1

y’3=y’1+l’1sinθ1-A5θ’1（27）

3）加速度分析

对式（25）求导一次，整理得：

l’’1cosθ1-l’’2cosθ2=E3

l’’1sinθ1-l’’2sinθ2=F3（28）

其中：

E3=u’’+2A3l’1θ’1+A5θ’12+A6θ’’1–2A4l’2θ’2–A7θ’22–A8θ’’2，

F3=v’’-2A1l’1θ’1+A6θ’12-A5θ’’1+2A2l’2θ’2–A8θ’22+A7θ’’2。

解（28）式得：

l’’1=（F3cosθ2–E3sinθ2）/D8

l’’2=（F3cosθ1–E3sinθ1）/D8（29）

P3点的加速度为对式（27）求导得：

x’’3=x’’1+A1l’’1-2A3l’1θ’1-A5θ’12-A6θ’’1

y’’3=y’’1+A3l’’1-2A1l’1θ’1-A6θ’12-A5θ’’1（30）

由上述式子可设计出PRP杆组运动分析子程序（见程序单）。

6．RPP杆组运动分析子程序

图6所示RPPⅡ级杆组中，已知导路1参考点P1和外转动副P2的运动，h为外副P2至导路2的垂直距离，导路1的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1）已知，导路1与导路2间的夹角为δ。

要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及导路中心P3，P4点的运动（x3，x4，x’3，x’4，x’’3，x’’4，y3，y4，y’3，y’4，y’’3，y’’4）。

1）位置分析

推导l1，及l2的方程式：

x1+l1cosθ1+l2cos（θ1+δ）=x