高考北京文科数学试题及答案word解析Word格式.docx
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人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
(4)
【2015年北京,文4,5分】某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分
层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有人,则该
样本的老年教师人数为()
(A)90(B)100(C)180(D)300
【答案】C
【解析】由题意,总体中青年教师与老年教师比例为;
设样本中老年教师的
人数为,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相
等,即,解得,故选C.
(5)
【2015年北京,文5,5分】执行如图所示的程序框图,输出的的值为()
(A)3 (B)4(C)5(D)6
【解析】,,,,
,,,,输出,
故选B.
(6)
【2015年北京,文6,5分】设,是非零向量,“”是“”的()
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【解析】,由已知得,即,
.而当时,还可能是,此时,故
“”是“”的充分而不必要条件,故选A.
(7)
【2015年北京,文7,5分】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥
最长棱的棱长为()
(A)(B)(C)(D)
【解析】四棱锥的直观图如图所示:
由三视图可知,平面,是四棱锥最长的棱,
,故选C.
(8)
【2015年北京,文8,5分】某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注:
“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每千米平均耗油量为()
(A)6升(B)8升(C)10升(D)12升
【解析】因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量升.而这段时间内行驶的里程数千米.所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为升,故选B.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
共6小题,每小题5分,共30分。
(9)
【2015年北京,文9,5分】复数的实部为.
【答案】
【解析】复数,其实部为.
(10)
【2015年北京,文10,5分】,,三个数中最大数的是.
【答案】
【解析】,,,所以最大.
(11)
【2015年北京,文11,5分】在中,,,,则______.
【解析】由正弦定理,得,即,所以,所以.
(12)
【2015年北京,文12,5分】已知是双曲线()的一个焦点,则.
【解析】由题意知,,所以.
(13)
【2015年北京,文13,5分】如图,及其内部的点组
成的集合记为,为中任意一点,则
的最大值为_______.
【答案】7
【解析】依题意,在点处取得最大值7.
(14)
【2015年北京,文14,5分】高三年级位学生参加期末
考试,某班位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全
年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从
这次考试成绩看,
①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生
是;
②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目
是.
【答案】乙、数学.
【解析】①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;
而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙.
②由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;
而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学.
三、解答题:
共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)
【2015年北京,文15,13分】已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的最小值.
解:
(1)的最小正周期为.
(2)因为,所以,从而,即时,最小。
所以在区间上的最小值为.
(16)
【2015年北京,文16,13分】已知等差数列满足,.
(1)求的通项公式;
(2)设等比数列满足,,问:
与数列的第几项相等?
(1)设等差数列的公差为.因为,所以.又因为,所以,故.
所以.
(2)设等比数列的公比为.因为,,所以,.所以.
由,得.所以与数列的第63项相等.
(17)
【2015年北京,文17,13分】某超市随机选取位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×
”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
217
200
300
85
98
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?
(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙
的概率可以估计为.
(2)从统计表可以看出,在在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同
时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品
(3)与
(1)同理,可得:
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为,
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为,
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为,
所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
(18)
【2015年北京,文18,14分】如图所示,在三棱锥中,平面平面,三角形为等边三角形,,且,,分别为,的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面平面;
(3)求三棱锥的体积.
(1)依题意,,分别为,的中点,则是的中位线,
所以,平面,平面,故平面.
(2)因为,为的中点,所以.又因为平面平面,
且平面,所以平面,所以平面平面..
(3)在等腰直角三角形中,,所以.
所以等边三角形的面积.又因为平面,
所以三棱锥C-VAB的体积等于.
又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为.
(19)
【2015年北京,文19,13分】设函数,.
(1)求的单调区间和极值;
(2)证明:
若存在零点,则在区间上仅有一个零点.
(1)由函数,,
所以。
从而;
。
所以,的单调递减区间是,单调递增区间是;
在处取得极小值.
(2)由
(1)知,在区间上的最小值为.
因为存在零点,所以,从而.
当时,在区间上单调递减,且,
所以是在区间上的唯一零点.
当时,在区间上单调递减,且,,
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知,若存在零点,则在区间上仅有一个零点.
(20)
【2015年北京,文20,14分】已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于,两点,直线与直线交于两点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若垂直于轴,求直线的斜率;
(3)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
(1)椭圆的标准方程为.所以,,.所以椭圆的离心率.
(2)因为过点且垂直于轴,所以可设,.直线的方程为.
令,得.所以直线BM的斜率.
(3)直线与直线平行.证明如下:
当直线的斜率不存在时,由
(2)可知.
又因为直线的斜率,所以.
当直线的斜率存在时,设其方程为.
设,,则直线的方程为.令,得点.
由,得.直线的斜率
因为
所以,综上可知,直线与直线平行.
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