专题五 平面解析几何Word格式文档下载.docx

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直线的倾斜角θ的范围为[0°

，180°

），倾斜角为90°

的直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k＝tanα＝（x1≠x2）；

（2）直线方程：

点斜式y－y0＝k（x－x0），两点式＝（x1≠x2，y1≠y2），一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）；

（3）位置关系：

当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时，两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2，两直线垂直l1⊥l2⇔k1·

k2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；

（4）距离公式：

两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式．

2．圆的概念与方程

（1）标准方程：

圆心坐标（a，b），半径r，方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2，一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D2＋E2－4F>

0）；

（2）直线与圆的位置关系：

相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法；

（3）圆与圆的位置关系：

相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法.

要点热点探究

►　探究点一　直线的概念、方程与位置关系

例1

（1）过点（5,2），且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（　B　）

A．2x＋y－12＝0　　　B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0

C．x－2y－1＝0　　　D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0

（2）[2012·

浙江卷]设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：

ax＋2y－1＝0与直线l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（　A　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

点评]直线方程的四种特殊形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；

一般地，直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1，垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

变式题

（1）将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°

，再向右平移1个单位，所得的直线方程为（　A　）

A．y＝－x＋B．y＝－x＋1C．y＝3x－3D．y＝x＋1

（2）“a＝－2”是“直线ax＋2y＝0垂直于直线x＋y＝1”的（　C　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

►　探究点二　圆的方程及圆的性质问题

例2

（1）已知圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为（　C　）

A．（x－1）2＋y2＝B．x2＋（y－1）2＝

C．（x－1）2＋y2＝1D．x2＋（y－1）2＝1

陕西卷]已知圆C：

x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3,0）的直线，则（　A　）

A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能

[点评]确定圆的几何要素：

圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径；

判断直线与圆的位置关系的一般方法是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小，但当直线经过圆内一个定点时，直线与圆一定相交．

变式题圆心在曲线y＝（x>

0）上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为（　A　）

A．（x－2）2＋＝9B．（x－3）2＋（y－1）2＝

C．（x－1）2＋（y－3）2＝D．（x－）2＋2＝9

►　探究点三　直线与圆的综合应用

例3[2012·

天津卷]设m，n∈R，若直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，则m＋n的取值范围是（　D　）

A．[1－，1＋]B．（－∞，1－]∪[1＋，＋∞）

C．[2－2，2＋2]D．（－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞）

[点评]本题根据m＋n＋1＝mn可直接令t＝m＋n代入消去n得关于m的一元二次方程，m为实数，这个方程的判别式大于或者等于零，得关于t的不等式，解不等式可得m＋n的取值范围．

变式题直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0,1）之间距离的最大值为（　A　）

A.＋1B．2C.D.－1

规律技巧提炼

•规律　1.确定直线的几何要素，一个是它的方向，一个是直线过一个点；

2．求圆的方程要确定圆心的坐标（横坐标、纵坐标）和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出来才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径．

•技巧　直线被圆所截得的弦长的解决方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，那么直线被圆所截得的弦长l＝2，这个公式是根据平面几何中直线与圆的位置关系和勾股定理得到的，二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．

•易错　忽视直线方程的适用范围，点斜式和斜截式不包括与x轴垂直的直线，两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的直线.

命题立意追溯

推理论证能力——结合圆的几何特征处理圆的问题

示例已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（　C　）

A.B．2C．2D．4

[跟踪练]

1．若圆C：

x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是（　C　）

A．2B．3C．4D．6

2．设M（1,2）是一个定点，过M作两条相互垂直的直线l1，l2，设原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值是________.

教师备用例题

选题理由：

据本讲的特点，我们在正文中没有选用解答题，下面的例题是直线与圆的一个综合，可作本讲总结使用．

例　已知椭圆C：

＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．

（1）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；

PA所在直线方程为y＝x－1或y＝x－1.

（2）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；

⊙M的方程为＋＝

或＋＝.

（3）求证：

⊙M总与某个定圆相切．

第15讲圆锥曲线的定义、方程与性质

该部分的命题主要围绕两个点展开．第一个点是围绕圆锥曲线与方程本身的知识展开，命题考查求圆锥曲线的方程、求椭圆或者双曲线的离心率以及简单的直线与圆锥曲线交汇的试题，目的是有针对性地考查对圆锥曲线基础知识和基本方法的掌握程度，试题一般是选择题或者填空题；

第二个点是围绕圆锥曲线与方程的综合展开，命题以圆锥曲线为基本载体，综合直线、圆等知识的综合性试题，目的是全面考查对解析几何的知识和方法的掌握程度，考查综合运用解析几何的知识和方法分析问题、解决问题的能力，这类试题一般是解答题，而且往往是试卷的压轴题之一，具有一定的难度．

预计2013年对该部分考查的基本方向不会有大的转折，会在选择题或者填空题中考查圆锥曲线的定义、方程和简单几何性质的应用，在解答题中综合考查圆锥曲线与方程．

高考试题中解析几何的解答题一般具有一定的难度，学生也畏惧解答解析几何试题，但解析几何试题的特点是思路清晰，运算困难，因此在复习该讲（以及下一讲）时，要在学生掌握好基础知识和基本方法的前提下，注重运算技巧的点拨、注重运算能力的培养．

1.椭圆

画出椭圆的图象，标出F1，F2，a，b，c，回顾椭圆的定义，两种形式的标准方程，a，b，c的关系．

椭圆的简单几何性质：

顶点坐标，焦点坐标，a，b，c的范围，离心率的范围，图象的对称性．

2．双曲线

画出双曲线的图象，标出F1，F2，a，b，c，回顾双曲线的定义，两种形式的标准方程，a，b，c的关系．

双曲线的简单几何性质，顶点坐标，焦点坐标，a，b，c的范围，图象的对称性，离心率的范围，渐近线方程．

3．抛物线

画出抛物线的图象，标出F，回顾抛物线的定义，四种形式的标准方程，焦参数p的几何意义．

抛物线的简单几何性质：

顶点坐标，焦点坐标，离心率的值，准线的方程.

　探究点一　圆锥曲线的定义与标准方程

例1[2012·

湖南卷]已知双曲线C：

－＝1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（　A　）

A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1

[点评]确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值．注意在椭圆中c2＝a2－b2，在双曲线中c2＝a2＋b2.圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，看下面变式．

　　变式题

变式题　

（1）设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·

|PF2|的值等于（　　）

A．3B．2C．3D．2

（2）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝（　　）

A．9B．6C．4D．3

[答案]

（1）A

（2）B

►　探究点二圆锥曲线的几何性质

例2

（1）[2012·

课程标准卷]设F1，F2是椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0）的左，右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°

的等腰三角形，则E的离心率为（　C　）

A.B.C.D.

浙江卷]如图5－15－1所示，F1，F2分别是双曲线C：

－＝1（a，b>

0）的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（B　　）

图5－15－1

[点评]求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于a，b，c的方程，根据已知条件和椭圆、双曲线中a，b，c的关系，求出所求的椭圆、双曲线中a，c之间的比例关系，根据离心率定义求解．如果是求解离心率的范围，则需要建立关于a，c的不等式（下面的变式

（1））．

变式题

（1）若双曲线－＝1（a>

0，b>

0）与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围为（　　）

A．（1,2）B．（1,2]C．（1，）D．（1，]

（2）已知双曲线－＝1（a>

0）的离心率e＝2，则其渐近线方程为________．

[答案]

（1）B　

（2）y＝±

x

►　探究点三　直线与圆锥曲线的位置关系

安徽卷]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（　C　）

A.B.