北师大版七年级下册数学《生活中的轴对称》全章复习与巩固提高知识点整理及重点题型梳理.docx
《北师大版七年级下册数学《生活中的轴对称》全章复习与巩固提高知识点整理及重点题型梳理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版七年级下册数学《生活中的轴对称》全章复习与巩固提高知识点整理及重点题型梳理.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北师大版七年级下册数学《生活中的轴对称》全章复习与巩固提高知识点整理及重点题型梳理
北师大版七年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法
4.能按照要求，画出一些轴对称图形.
【知识网络】
【要点梳理】要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求诠释：
成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释:
轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：
如果把一个轴对称图
形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是：
角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：
前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：
有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：
等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．
2
（2）等腰三角形性质
1等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
2等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
要点诠释：
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
2.等边三角形
（1）定义：
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：
由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
（2）等边三角形性质：
等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
3有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、（2015?
阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）
A．OP1⊥OP2B．OP1=OP2
C．OP1≠OP2D．OP1⊥OP2且OP1=OP2
【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．【答案】D；
【解析】解：
如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，
∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），
=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．
【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形
更形象直观．
举一反三：
变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称
点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）
【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度
的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.
【答案与解析】
解：
分别作P关于OM、ON的对称点P1，P2，连接P1P2交OM于A，ON于B.则△PAB为符合
条件的三角形
∵∠MON＝40
∴∠P1PP2＝140°.
11
∠P1PA＝∠PAB,∠P2PB＝∠PBA.
22
1
∴（∠PAB＋∠PBA）＋∠APB＝140°
2
∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°
∵∠PAB＝∠P1＋∠P1PA,∠PBA＝∠P2＋∠P2PB
∴∠P1＋∠P2＋∠P1PP2＝180°
∴∠APB＝100°
【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.
举一反三：
【变式】（2014秋?
西城区期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1
（3，0）．
（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；
（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为．
解：
（1）如图所示；
（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6=335⋯4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，∴点P的坐标为（5，0）．
3、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=12°0，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，求BD的长．
【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=3°0，再求出
∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数
据进行计算即可得解．
【答案与解析】
∴∠B=∠C=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=C，D
∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=12°0﹣30°=90°，
在Rt△CDE中，CD=2DE，
在Rt△ABD中，BD=2AD，
∴BD=4D，E
∵DE=1cm，
∴BD的长为4cm．
故答案为：
4cm．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的
一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
举一反三
【变式】（2016春?
芦溪县期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．
【思路点拨】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．
【答案与解析】
解：
∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°
又∵DE垂直且平分AB，
∴DB=AD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．
即∠DBC的度数是15°．
【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
类型三、角平分线性质
4、已知：
如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：
OB=OC．
证明：
∵AO平分∠BAC，∴OB=O（C角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．
【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=O，E然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【答案与解析】
证明：
∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=O，E
在△DOB和△EOC中，
∠DOB∠=EOC，OD=O，E∠ODB∠=OEC，
∴△DOB≌△EOC（ASA），
∴OB=O．C
【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．
举一反三
【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：
①DE=D；F②BD=C；D③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）
类型四、等腰三角形的综合应用
5、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=C．H证明过程如下：
又∵S△ABPS△ACPS△ABC
111
∴AB?
PE+AC?
PF=AB?
CH．∵AB=AC，∴PE+PF=C．H
222
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：
若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，
升级会员 