高考中的零点问题Word下载.doc

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解:

因为，，，且是二次函数.所以的两个零点分别位于区间.

点评：

运用零点存在性定理判断零点所在区间，必须结合端点函数值的符号和单调性.

题型二：

函数零点个数的判断

例2、（2013年天津高考题）函数的零点个数为

解：

令，即，设，，

在同一个直角坐标中分别作出它们的图像，的图像与的图像的交点个数有两个，故函数的零点个数为2个.

对于很难用导数分析函数性质的问题，处理时往往转化为两个简单函数，借助他们图象的交点判定原函数零点个数.

例3、（2013年江苏高考试题）设函数其中为实数.

若上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

当时，必是单调增函数；

当时，令解得，则，因为上是单调增函数，所以有，即，结合上述两种情况有，

（1）、当，由以及，得存在唯一的零点.

（2）、当时，由于的定义域为,所以，故在上是单调增函数，而，且函数是连续函数，由零点存在性定理知，存在唯一的零点.

（3）、当时，令，解得，当时，，

当时，，故是的最大值点，且最大值为，

若即.有一个零点.

若，即，有两个零点.

实际上，对于，由于，,函数是连续函数，所以上存在零点，又当时，，

故上是单调增函数，所以上只有一个零点.

下面考虑在上情况，先证

为此，我们要证明：

当时，，设，则，

再设，则，当时，，

所以在（上是单调增函数，当时，，从而在上单调增函数，于是当时，，即当时，.

当，即时，，又，且函数是连续函数，所以上存在零点，又当时，，

故上是单调减函数，所以上只有一个零点.

综合

（1）、

（2）、（3）得当时，的零点个数为1;

当时，的零点个数为2.

点评：

本题用含有参变量的函数及函数零点知识作为载体，考查了分类讨论的数学思想.其需要学生具有很强的分类讨论能力，对函数性质及图像的把握具有一定灵活性、严谨性.

题型三：

函数交点个数的证明

例4、（2013年陕西高考题）已知函数证明：

曲线与曲线有唯一的公共点.

曲线与公共点的个数等价于函数零点的个数.

因为，所以存在零点

又，令则，

当所以上单调递减；

当所以上单调递增.

因此在有唯一的极小值

即在上的最小值为0.

从而（当且仅当时等号成立）

于是在上单调递增，因此在上有唯一的零点.故曲线与曲线有唯一的公共点.

点评：

本题要证明指数函数与二次函数的交点个数问题，可把函数交点问题转化为函数零点问题，利用函数的单调性及零点存在性定理来解决.探讨函数与图像的交点问题时，常可以通过构造函数，研究函数性质（单调性、极值点）来确定零点个数.

题型四：

据零点求参数

例5、（2013年四川高考题）设函数（为自然对数的底数）．若曲线上存在，使得，则的取值范围是（）

因为，所以，又因为在函数上，所以

所以问题转化为在上有解，

若在上恒成立，则，则在上无解，

同理若在上恒成立，则。

所以在上有解等价于所以在上有解

即

令，所以

故上单调递增

所以

本题与三角适当综合.要解决此题首先要把其转化为函数零点问题，再分离参数求解.分离参数后，一般采取通过导数研究函数性质，有时借助相应函数图像来解决问题.

题型五：

复合函数的零点个数

例6、（2013年安徽高考题）若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实数根的个数是

由已知函数有极值点，所以方程的两根分别是，故要的方程成立，只要或，又，因此当是极大值点时，，有两个根，仅有一个根；

当是极小值点时，，有两个根，仅有一个根.如下图：

综上所述：

关于的方程的不同实数根的个数是3个.

点评：

本题是以三次函数极值点为载体，与复合函数的零点问题结合.解决此类问题，首先分清复合函数的内外层次，可以由外向里的一层一层研究下去，分步求解层叠的零点，必要时作出图像，帮助理解.

总之，函数零点问题越来越受高考出题者的青睐.要想解决这类问题，我们不仅需要具备扎实的基础知识和熟练的变形技巧，而且更需要具备灵活的思维，不断的变换角度，化难为易,化繁为简.