高考中常用的数学概念、公式、中间结论Word文件下载.doc
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{x|x>
0}
值域
{y|y>
过定点
(0,1)
(1,0)
单调性
a>
1时,在R上单调递增
0<
a<
1时,在R上单调递减
1时,在(0,+∞)上单调递增
1时,在(0,+∞)上单调递减
函数值性质
1,
当x>
0时,0<
y<
1;
当x<
0时,y>
1
1时,y<
0;
当0<
x<
1时,y>
7.方程的根与函数零点的关系:
由函数零点的定义,可知函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
8.导数的几何意义:
函数f(x)在x=处的导数f'
()的几何意义是曲线y=f(x)在点(,f())处的切线的斜率.相应的切线方程为f'
().切点在切线上,又在函数图象上。
9.求可导函数极值的步骤
①求导数f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.
10.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
11.三角函数定义:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则
sinα=y,cosα=x,tanα=.
各象限角的三角函数值的符号:
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
12.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
{x≠+kπ,k∈Z}
[-1,1]
在
(k∈Z)上单调增;
(k∈Z)上单调递减
在[2kπ-π,2kπ]
在[2kπ,2kπ+π]
在
(k∈Z)上单调递增
最值
x=时,ymax=1;
x=2kπ-,k∈Z时,ymin=-1
x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
对称性
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
x=kπ(k∈Z)
周期
2π
π
注:
的周期为,的周期为.
13.向量加减法则
14.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理:
向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.
(2)平面向量基本定理:
如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数,,使a=+,其中,是一组基底.
15.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b⇔a·
b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔|a+b|=|a-b|.
16.等差数列的相关概念
(1)定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an-an-1=d(n>
1,d为常数).
(2)等差中项:
若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A=.
17.等比数列的相关概念
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.符号表示为,q为常数.
(2)等比中项:
如果三个数a、G、b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么=,即G2=ab.
18.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法
(1)在直线Ax+By+C=0的某侧任取一点(,),通过A+B+C的符号来判断Ax+By+C>
0(或Ax+By+C<
0)所表示的区域.
(2)一般地,若Ax+By+C>
0,则当B>
0时表示直线Ax+By+C=0的上方;
当B<
0时,表示直线Ax+By+C=0的下方.若Ax+By+C<
0,与上述情况相反.
19.复数的有关概念
(1)复数的定义:
形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位),其中
(2)复数的分类
(3)复数相等:
a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
特别地,a+bi=0⇔a=0且b=0(a,b∈R).
(4)共轭复数:
复数z=a+bi的共轭复数=a-bi
(5)复数的模:
①建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
②在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;
除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.
③复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量.
④向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,
即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,a、b∈R).
20.
(1)直线与平面平行
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
理
平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
⇒l∥α
性
质
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
⇒a∥b
(2)平面与平面平行
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
⇒α∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简记为“面面平行⇒线线平行”)
(3)直线与平面垂直
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简记为“线线垂直⇒线面垂直”)
⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
(4)平面与平面的垂直
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直(简记为“线面垂直⇒面面垂直”)
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(简记为“面面垂直⇒线面垂直”)
21.
(1)异面直线所成的角定义:
设a、b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线
a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.
范围:
.
(2)直线与平面所成的角定义:
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,∠PAO就是斜线
AP与平面α所成的角.范围:
.
(3)二面角定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图,记作:
二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ.范围:
22.直线方程点斜式:
y-y1=k(x-x1)(直线过点P1(x1,y1),且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).斜截式:
y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距,且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).
23.圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>
0);
圆心(a,b),半径为r;
圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>
圆心(-,-),半径.
24.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
|PF1|+|PF2|=2a(2a>
|F1F2|)
||PF1|-|PF2||=2a(2a<
|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M
标准
方程
+=1(a>
b>
0)
-=1(a>
0,b>
y2=2px(p>
图形
范围
|x|≤a,|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±
a,0)(0,±
b)
a,0)
(0,0)
关于x轴,y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
c,0)
(,0)
轴
长轴长2a,短轴长2b
实轴长2a,虚轴长2b
离心率
e==(0<
e<
1)
e==(e>
e=1
准线
x=-
渐近线
y=±
x
25.求曲线轨迹方程的定义法:
其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则根据定义直接求出动点的轨迹方程.
26.极坐标:
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
27.常用简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r
(0≤θ<
2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcosθ
(-≤θ<
)
圆心为(r,),半径为r的圆
ρ=2rsinθ
π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R)或
θ=π+α(ρ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcosθ=a
(-<
θ<
过点(a,),与极轴平行的直线
ρsinθ=a
(0<
28.直线与圆、椭圆的参数方程
(1)过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程(t为参数)
(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程(θ为参数)
(3)椭圆+=1(a>
0)的参数方程(θ为参数)
29.将曲线的参数方程化为普通方程时,要把