届高考数学理科一轮复习北师大版题库第7章71不等关系与不等式Word文件下载.docx

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③a>

0,0<

c<

d⇒>

④0<

a<

x<

b或a<

b<

<

（2）有关分数的性质

0，m>

0，则

①<

；

>

（b－m>

0）．

②>

<

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）a>

b⇔ac2>

bc2.（　×

　）

（2）a>

0⇒>

.（　√　）

（3）若ab>

0，则a>

b⇔<

（4）若>

1，则a>

b.（　×

（5）若a>

1，c<

0，则logb（a－c）>

loga（b－c）．（　√　）

（6）若<

0，则|a|>

|b|.（　×

1．（2014·

四川）若a>

0，c<

d<

0，则一定有（　　）

A.>

B.<

C.>

D.<

答案　D

解析　令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，

则＝－1，＝－1，

所以A，B错误；

＝－，＝－，

所以<

，

所以C错误．故选D.

2．设a<

0，则下列不等式中不成立的是（　　）

B.>

C．|a|>

－bD.>

答案　B

解析　由题设得a<

a－b<

0，所以有<

成立，

即>

不成立．

3．若<

0，则下列不等式：

①a＋b<

ab；

②|a|>

|b|；

③a<

b；

④＋>

2中，正确的有（　　）

A．①②B．②③

C．①④D．③④

答案　C

解析　∵<

0，∴b<

0，a＋b<

0，ab>

0，>

0，∴a＋b<

ab，|a|<

|b|，＋>

2＝2（因为b≠a，故等号不能取到）．故①④正确．

4．已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________________．

答案　a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1

解析　∵a1b1＋a2b2－（a1b2＋a2b1）

＝a1（b1－b2）＋a2（b2－b1）

＝（b1－b2）（a1－a2），

∵a1≤a2，b1≥b2，

∴（b1－b2）（a1－a2）≤0，

∴a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.

题型一　用不等式（组）表示不等关系

例1　某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？

解　若提价后商品的单价为x元，

则销售量减少×

10件，

因此，每天的利润为（x－8）[100－10（x－10）]元，

则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式

（x－8）[100－10（x－10）]≥300.

思维升华　对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后，用不等式表示．而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决．

　已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：

甲

乙

维生素A（单位/kg）

600

700

维生素B（单位/kg）

800

400

设用甲、乙两种食物各xkg，ykg配成至多100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为________．

答案　

题型二　比较大小

例2　

（1）已知a1，a2∈（0,1），记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　）

A．M<

NB．M>

N

C．M＝ND．不确定

（2）若a＝，b＝，c＝，则（　　）

A．a<

cB．c<

a

C．c<

bD．b<

c

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）

＝a1a2－a1－a2＋1

＝a1（a2－1）－（a2－1）

＝（a1－1）（a2－1），

又∵a1∈（0,1），a2∈（0,1），

∴a1－1<

0，a2－1<

0.

∴（a1－1）（a2－1）>

0，即M－N>

∴M>

N.

（2）方法一　易知a，b，c都是正数，＝

＝log8164<

1，

所以a>

＝＝log6251024>

所以b>

c.即c<

a.

方法二　对于函数y＝f（x）＝，y′＝，

易知当x>

e时，函数f（x）单调递减．

因为e<

3<

4<

5，所以f（3）>

f（4）>

f（5），

即c<

思维升华　比较大小的常用方法

（1）作差法：

一般步骤：

①作差；

②变形；

③定号；

④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

（2）作商法：

①作商；

③判断商与1的大小；

④结论．

（3）函数的单调性法：

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．

（1）如果a<

0，那么下列不等式成立的是（　　）

A.<

B．ab<

b2

C．－ab<

－a2D．－<

－

（2）（2013·

课标全国Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

A．a>

c>

bB．b>

C．c>

aD．c>

a>

b

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）对于A项，由a<

0，得b－a>

0，

故－＝>

>

，故A项错误；

对于B项，由a<

0，得b（a－b）>

b2，故B项错误；

对于C项，由a<

0，得a（a－b）>

0，a2>

ab，

即－ab>

－a2，故C项错误；

对于D项，由a<

0，得a－b<

故－－（－）＝<

－<

－成立．故D项正确．

（2）因为log32＝<

1，log52＝<

1，又log23>

1，所以c最大．又1<

log23<

log25，所以>

，即a>

b，所以c>

b，选D.

题型三　不等式性质的应用

例3　已知a>

0，给出下列四个不等式：

①a2>

b2；

②2a>

2b－1；

③>

－；

④a3＋b3>

2a2b.

其中一定成立的不等式为（　　）

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

答案　A

解析　方法一　由a>

0可得a2>

b2，①成立；

由a>

0可得a>

b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，

∴f（a）>

f（b－1），即2a>

2b－1，②成立；

∵a>

0，∴>

∴（）2－（－）2

＝2－2b＝2（－）>

∴>

－，③成立；

若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，

a3＋b3<

2a2b，④不成立．

故选A.

方法二　令a＝3，b＝2，

可以得到①a2>

b2，②2a>

2b－1，③>

－均成立，而④a3＋b3>

2a2b不成立，故选A.

思维升华　

（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

（2）在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

（1）设a，b是非零实数，若a<

b，则下列不等式成立的是（　　）

A．a2<

b2B．ab2<

a2b

C.<

D.<

（2）已知a，b，c∈R，有以下命题：

①若a>

b，则ac2>

bc2；

②若ac2>

bc2，则a>

③若a>

b，则a·

2c>

b·

2c.

其中正确的是________．（填上所有正确命题的序号）

答案　

（1）C　

（2）②③

解析　

（1）当a<

0时，a2<

b2不一定成立，故A错．

因为ab2－a2b＝ab（b－a），

b－a>

0，ab符号不确定，

所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错．

因为－＝<

，故C正确．

D项中与的大小不能确定．

（2）①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>

0知成立．

不等式变形中扩大变量范围致误

典例：

设f（x）＝ax2＋bx，若1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，则f（－2）的取值范围是________．

易错分析　解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f（－2）＝4a－2b的范围，导致变量范围扩大．

解析　方法一　设f（－2）＝mf（－1）＋nf

（1）（m、n为待定系数），则4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），

即4a－2b＝（m＋n）a＋（n－m）b，

于是得解得

∴f（－2）＝3f（－1）＋f

（1）．

又∵1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，

∴5≤3f（－1）＋f

（1）≤10，即5≤f（－2）≤10.

方法二　由

得

∴f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f

（1）．

∴5≤3f（－1）＋f

（1）≤10，故5≤f（－2）≤10.

方法三　由

确定的平面区域如图阴影部分，

当f（－2）＝4a－2b过点A（，）时，

取得最小值4×

－2×

＝5，

当f（－2）＝4a－2b过点B（3,1）时，

取得最大值4×

3－2×

1＝10，

∴5≤f（－2）≤10.

答案　[5,10]

温馨提醒　

（1）此类问题的一般解法：

先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；

（2）求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.

方法与技巧

1．用同向不等式求差的范围．

⇒⇒a－d<

x－y<

b－c.

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．

2．倒数关系在不等式中的作用．

⇒<

⇒>

3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：

作差——变形——判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．

4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．

失误与防范

1．a>

b⇒ac>

bc或a<

b⇒ac<

bc，当c≤0时不成立．

2．a>

或a<

b⇒>

，当ab≤0时不成立．

3．a>

b⇒an>

bn对于正数a、b才成立．

4.>

1⇔a>

b，对于正数a、b才成立．

5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：

c⇒a>

c，其中a>

c不能推出.

6．比商法比较大小时，要注意两式的符号.

A组　专项基础训练

（时间：

40分钟）

1．“a＋c>

b＋d”是“a>

b且c>

d”的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　由同向不等式的可加性知“a>

d”⇒“a＋c>

b＋d”，反之不对．

2．若<

0，则下列结论不正确的是（　　）

b2B．ab<

C．a＋b<

0D．|a|＋|b|>

|a＋b|

解析