第四单元曲线运动万有引力补充例题Word格式文档下载.docx

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最远的距离为h,把速度分解为平行和垂直于斜面方向，垂直斜面方向的分速度为v1

v1=v0sinα=4沿垂直斜面匀减速运动最远点垂直斜面的分速度为零h=

解法二：

从抛出开始计时，设经过t1时间小球离斜面的距离达到最大，当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大，最大距离为H．

此时物体在竖直方向的分速度vy1=gt1=v0tanθ，

所以=

水平位移，竖直位移

根据几何关系可知x′=联立解得：

H＝3m

例2、某人在雨天撑一把半径为r=0.8m的雨伞，雨伞边缘离地面的高度h=1.8m如图5-7-3，当人以ω=2πrad/s转动雨伞时，发现雨滴做离心运动，最后落到地面，求落到地面的雨滴构成的圆的半径是多少？

雨滴的速度是多大？

（g取10m/s）（10分）

先确定雨滴为研究的对象，再求出雨滴离开雨伞的速度的大小v=ωr=0.8m/s

方向沿切线的方向，雨滴离开伞做平抛运动，运动的时间为t

t==0.6s

雨滴的水平位移S=vt

由几何关系得雨滴落地时构成的大圆的半径是：

R==3.11m

雨滴落地的速度的大小为：

v===7.8m/s

例3、我们每个同学都记得小学课本中有一篇《月球之谜》，内配有一张1969年人类首次登月的照片，至今印象深刻。

而“嫦娥奔月”、“广寒宫”等古老的传说都表明中国人自古就对月球充满了深厚的感情，那么月球上到底有没有人类居住，这些至今是个迷，于是探测月球成为许多人的梦想。

可喜的是，2004年，现代版“嫦娥奔月”将正式开演。

如图9所示，登月飞船以速度v0绕月做圆周运动，已知飞船质量为m=1.2×

104kg，离月球表面的高度为h=100km，飞船在A点突然向前做短时间喷气，喷气的相对速度为u=1.0×

104m/s，喷气后飞船在A点速度减为vA，于是飞船将沿新的椭圆轨道运行。

为使飞船能在图中B点着陆（A、B连线通过月球中心，即A、B点分别是椭圆轨道的远月点和近月点），求喷气时需要消耗多少燃料？

已知月球的半径为R=1700km，月球表面的重力加速度为g=1.7m/s2（选无限远处为零势能点，物体的重力势能大小为Ep=－GMm/R）

飞船向前喷气后，其速度从v0减为vA，其轨道从圆周改为椭圆，A点为椭圆轨道的远月点，B点为椭圆的近月点，根据开普勒第二定律，其面积速度为恒量及机械能守恒定律可求vA。

于是可得出由于喷气造成的速度改变量⊿v=v0－vA，再由动量守恒定律，可求得所需燃料的质量。

当飞船以v0绕月做半径为rA=R+h的圆周运动时，由牛顿第二定律，GMm/（R+h）2=mv02/（R+h），所以v02=R2g/（R+h）

其中M为月球的质量，R 

为月球的半径，g为月球表面的重力加速度，所以代入数据，求得v0=1652m/s

根据开普勒第二定律，飞船在A、B两处的面积速度相等，有rAvA=rBvB，

由机械能守恒得，mvA2/2－GMm/（R+h）=mvB2/2－GMm/R联立解得，vA=1628m/s

所以登月所需速度的改变量为⊿v=24m/s

飞船在A点喷气前后动量守恒，设喷气总质量为⊿m，所以mv0=（m－⊿m）vA+⊿m（v0+u）

所以喷气所消耗的燃料的质量为⊿m=28.7kg

例4、有一空间探测器对一球状行星进行探测，发现该行星上无生命存在，在其表面上，却覆盖着一层厚厚的冻结的二氧化碳（干冰）。

有人建议利用化学方法把二氧化碳分解为碳和氧气而在行星上面产生大气。

由于行星对大气的引力作用，行星的表面就存在一定的大气压强。

如果1s分解可得到106kg氧气，需使行星表面得到的压强至少为P=2×

104Pa，那么请你估算一下，至少需多少年才完成？

已知行星表面的温度较低，在此情况下，二氧化碳的蒸发不计，探测器靠近行星表面运动的周期为2h，行星的半径r=1750km，大气层的厚度与行星的半径相比很小，结果保留两位有效数字。

设探测器的质量为m，行星的质量为M，根据万有引力提供向心力，可得

GMm/r2=m（2π/T）2r，所以GM=4π2r3/T2大气的质量可近似表示为m0=4πr2P/g

根据万有引力定律，mg=GMm/r2，所以g=GM/r2所以m0=4πr2PT2/4π2r=5.8×

1017kg

由于1s可分解得到106kg氧气，则分解

5.8×

1017kg所需：

t=5.8×

1011s=1.8×

104年

例5、“双星问题”探究

O

现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。

众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图所示，两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。

已知双星质量分别为m1、m2，它们间的距离始终为L，引力常量为G，求：

（1） 

双星旋转的中心O到m1的距离；

（2） 

双星的转动周期。

分析：

这类问题首先要画出双星系统的草图，如图所示。

对于m1来说，它在做圆周运动，而做圆周运动的物体都要时刻受到向心力，那么这个向心力是由谁来提供的呢？

经过认真地审题和思考，我们可以断定m1的向心力只能由m2来提供，具体地说，是m2对m1的万有引力充当m1的向心力，m2同理。

又由于两星都在绕其连线上某一点匀速转动，因此其有以下物理量相等，即周期、角速度、频率、向心力相等，距离不变。

于是我们分别对两星列式如下：

解设双星旋转的中心O到m1的距离为x，

由F引=F向知

G，G。

联立以上两式求解得：

双星旋转的中心到m1的距离为x=。

双星的转动周期为T=2πL。

讨论：

（1）如果m1>

>

m2，x=，分子分母同除以m2，则

x≈≈0，T=2πL≈2πL，由此可以看出无限接近m1，即m2环绕中心天体m1转动，这样其实就是我们常见的单星模型，也就是常说环绕模型。

换个说法，天体运动中的所有环绕运动，都可以看做双星模型，只不过质量相差较大时，就变成了围绕中心天体运动的环绕模型。

（2）如果m1=m2，x==，环绕的中心就在连线的中点上。

（3）如果m1<

<

m2，x=分子分母同除以m2，，则x=≈L，环绕中心无限接近m2，T=2πL≈2πL此时就是m1环绕m2转动。

卫星的变轨运动原理（了解）

一、怎样把卫星发射到轨道上去呢？

有两种方法。

以地球同步卫星为例。

一种是直线发射，由火箭把卫星发射到三万六千公里的赤道上空，然后做九十度的转折飞行，使卫星进入轨道。

另一种方法是变轨发射，即先把卫星发射到高度约二百公里~三百公里的圆轨道上，这条轨道叫停泊轨道，当卫星穿过赤道平面时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在赤道上空三万六千公里处，这条轨道叫转移轨道，当卫星到达远地点时，再开动卫星上的发动机，使之进入圆形同步轨道，也叫静止轨道。

第一种发射方法，在整个发射过程中，火箭都处于动力飞行状态，要消耗大量燃料，还必须在赤道上设置发射场，有一定的局限性。

第二种发射方法，运载火箭消耗的燃料较少，发射场的位置也不受限制。

目前各种发射同步卫星都用第二种方法，但这种方法在操作和控制上都比较复杂。

二、嫦娥一号的发射步骤

嫦娥卫星变轨分三次进行，如下图所示。

第一次，“嫦娥一号”卫星发射后首先被送入一个地球同步椭圆轨道，这一轨道离地面最近距离为500公里，最远为7万公里。

探月卫星用26小时环绕此轨道一圈。

第二次，通过加速再进入一个更大的椭圆轨道，距离地面最近距离500公里，但最远为12万公里，需要48小时才能环绕一圈。

此后，探测卫星不断加速，开始“奔向”月球，大概经过83小时的飞行，在快要到达月球时，依靠控制火箭的反向助推减速。

第三次，在被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，最终在离月球表面200公里高度的极地轨道绕月球飞行，开展拍摄三维影像等工作。

卫星奔月总共大约需要157个小时，距离地球接近38.44万公里。

为什么“嫦娥一号”卫星首次变轨选择在远地点进行呢？

在对卫星的运行轨道实施变轨控制时，一般选择在近地点和远地点完成，这样做可以最大限度地节省卫星上所携带的燃料。

嫦娥一号卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度，只有在远地点变轨才能抬高近地点的轨道高度。

同样的道理，要改变远地点的高度就需要在近地点实施变轨。

三、用高中物理知识分析卫星的变轨运动

飞船（卫星）绕地球在椭圆轨道上运行时，由开普勒第一定律可知，地球位于卫星椭圆轨道的一个焦点上，如下图所示。

飞船在轨道上的两个特殊位置A为近地点，B为远地点，所受万有引力的方向与飞船线速度的方向垂直；

飞船在椭圆轨道上的其它各个位置（如C位置）所受的万有引力方向不与线速度方向垂直。

无论在哪个位置，所受到的万有引力都不等于卫星在该点所需要的向心力，故飞船在椭圆轨道上运行时线速度的大小和方向均不断发生变化。

在近地点A处，由开普勒第二定律知，飞船的速度较大，地球对飞船的万有引力小于飞船做半径为Ra的圆周运动所需的向心力，故飞船做离心运动，轨迹是椭圆，随着到地心的距离增大，万有引力减小，飞船克服万有引力做功，引力势能增大，动能减小，速度减小。

飞船由远点B向近地点A运动时，地球对飞船的万有引力大于它绕地球做半径为Rb的圆周运动时所需向心力，飞船做向心运动。

飞船运动到椭圆轨道上的一般位置（如C处）时，所受万有引力的方向与速度方向不垂直，可将万有引力分解为沿速度方向的切向分力和垂直于速度方向上的法向分力，切向分力使飞船加速或减速，法向分力使飞船速度方向改变。

当飞船沿椭圆轨道运动到近地点A时，若飞船向前喷气，使飞船减速到绕地心做圆周运动所需的向心力刚好等于飞船在A所受地球的万有引力，则飞船由椭圆轨道变为半径为Ra的圆轨道；

反之，当飞船沿半径为Ra的圆轨道运动到A点时，若飞船向后喷气而使飞船加速，万有引力不足以提供飞船绕地球做圆周运动的向心力，飞船将沿椭圆轨道做离心运动。

同理，当飞船沿椭圆轨道运动到B点时，若飞船向后喷气，使飞船加速到绕地心做圆周运动所需的向心力刚好等于在B点时的万有引力时，飞船将由椭圆轨道变为以地心为圆心，以Rb为半径的圆轨道运动；

反之，当飞船沿半径为Rb的圆轨道运动到B点时，若飞船向前喷气而使飞船减速，万有引力大于作圆周运定所需要的向心力，飞船将沿椭圆轨道做向心运动。

当飞船沿椭圆轨道运动到C点时，将此时速度分解为沿万有引力方向和垂直于万有引力方向两个分速度，若向前或向后喷气使与引力方向在同一直线方向的分速度恰好减为零，此时若垂直于引力方向的分速度恰好满足飞船绕地心做圆周运动所需的向心力等于飞船所受的万有引力，则飞船由椭圆轨道变为半径为Rc的圆轨道，反之，当飞船沿半径为Rc的圆轨道运动到C点时，若飞船向远离地球方向或向着地球方向喷气而获得沿半径方向的分速度，则合速度方向不与万有引力方向垂直，飞船从圆轨道变为C点的椭圆轨道。

1．某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆．由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用EKl．EK2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则

（A）r1<

r2，EK1<

EK2（B）r1>

EK2（C）r1<

r2，EK1>

EK2（D）r1>

EK2

由于阻力使卫星高度降低，故r1>

r2，由v=知变轨后卫星速度变大，动能变大EK1<