第十组 MATLAB仿真镜像法Word文档格式.docx
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镜像法是解静电边值问题的一种特殊方法。
它主要用来求分布在导体附近的电荷（点电荷、线电荷）产生的场。
如在实际工程中，要遇到水平架设的双线传输线的电位、电场计算问题。
当传输线离地面距离较小的时候，要考虑地面的影响，地面可以看作一个无穷大的导体平面。
由于传输线上所带的电荷靠近导体平面，导体表面会出现感应电荷。
此时地面上方的电场由原电荷和感应电荷共同产生。
镜像法是应用唯一性定理的典型例。
在镜像法应用中应注意以下几点：
1）镜像电荷位于待求场域边界之外。
2）将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
3）实际电荷（或电流）和镜像电荷（或电流）共同作用保持原边界上的边界条件不变。
三，点电荷对相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像
设在自由空间有一点电荷q位于无限大接地导体平面上方，且与x导体平面距离为a,与z导体平面距离为d.
点电荷无限大导体平面
左上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为z>
0，x>
0空间，边界为x=0,z=0的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即
（2.1）
设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外（-a,0,d）放置一镜像电荷q2，q2=-q，在（-a,0,-d）放置一镜像电荷q3，当q3=+q，在（a,0,-d）放置一镜像电荷q4，当q4=-q，
如图2所示。
点电荷q1和镜像电荷q2,q3.q4在边界上产生的电位满足式（2.1）所示的边界条件。
图2镜像法图示
根据镜像法原理，在x>
0,z>
0空间的电位为点电荷q1和镜像电荷q2,q3,q4所产生的电位叠加，即
}
（2.2）
上半空间任一点的电场强度为
电场强度的三个分量分别为
（2.3.1）
（2.3.2）
（2.3.3）
可见，在导体表面x=0,处，，只有存在,在导体表面z=0处，即导体表面上法向电场存在。
导体表面感应电荷分布可由边界条件决定，即
（2.4.1）
（2.4.2）
由式（2.4）可以看出，导体表面上感应电荷分布是不均匀的，
导体表面上感应电荷为
dxdy=-q
四，MATLAB实现电场线和电位（镜像电荷理想等效）
clear
q1=1;
q2=-1;
q3=1;
q4=-1;
x1=2;
x2=-2;
y1=2;
y2=-2;
xm=5;
ym=5;
x=linspace（-xm,xm）;
y=linspace（-ym,ym）;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
R1=sqrt（（X-x1）.^2+（Y-y1）.^2）
R2=sqrt（（X-x2）.^2+（Y-y1）.^2）;
R3=sqrt（（X-x2）.^2+（Y-y2）.^2）;
R4=sqrt（（X-x1）.^2+（Y-y2）.^2）;
U=q1./R1+q2./R2+q3./R3+q4./R4;
u=-4:
0.5:
4;
figure
contour（X,Y,U,u）
gridon
legend（num2str（u'
））
holdon
plot（[-xm;
xm],[0;
0]）
plot（[0;
0],[-ym;
ym]）
plot（x1,y1,'
o'
'
MarkerSize'
12）
plot（x2,y1,'
plot（x2,y2,'
plot（x1,y2,'
[Ex,Ey]=gradient（-U,x
（2）-x
（1）,y
（2）-y
（1））;
dth1=10;
th1=（dth1:
dth1:
360）*pi/180;
r0=0.1;
x1m=r0*cos（th1）+x1;
y1m=r0*sin（th1）+y1;
x2m=r0*cos（th1）+x2;
y2m=r0*sin（th1）+y2;
streamline（X,Y,Ex,Ey,x1m,y1m）
streamline（X,-Y,Ex,-Ey,x1m,-y1m）
streamline（X,Y,Ex,Ey,x2m,y2m）
streamline（X,-Y,Ex,-Ey,x2m,-y2m）
axisequaltight
title（'
点电荷的电场线与等势线'
fontsize'
20）
xlabel（'
r'
16）
ylabel（'
E（U）'
txt=['
电荷:
\itQ\rm_1='
num2str（q1）];
text（-xm,-ym-0.6,txt,'
\itQ\rm_2='
num2str（q2）];
text（-xm+xm/2,-ym-0.6,txt,'
\itQ\rm_3='
num2str（q3）];
\itQ\rm_4='
num2str（q4）];
16）
text（0.5,-ym-0.6,txt,'
结果：
若改变U，使其扩大10倍，则其图形为：
由图不难看出，等势线与电场线垂直，并且电场线密集的地方，等势线也密集。
三维电势图
由上图可以很好的理解平面上点电荷的电场线和电势线的分布规律，但要想形象的理解电荷电势的变化规律，则需借助三维仿真功能。
由于在点荷处分母会出现零的情况，因此在半径里增加一个小量0.01.这样既不会对结果造成太大影响，又能完成计算。
Matlib程序：
[x,y]=meshgrid（-2:
0.1:
2,-2:
2）;
z=1./sqrt（（x-1）.^2+（y-1）.^2+0.01）-1./sqrt（（x-1）.^2+（y+1）.^2+0.01）+1./sqrt（（x+1）.^2+（y+1）.^2+0.01）-1./sqrt（（x-1）.^2+（y+1）.^2+0.01）;
Surf（x,y,z）
Shadinginterp
Colormap（jet）
三维图形：
五、总结和体会：
由于电场看不见，摸不着，实验过仿真软件MATLAB绘出的电场（或电势）的分布图，让我们对电场这种物质有了更深的感性认识，对于相应知识的理解和吸收有很大的帮助。
在以前的学习中，我仅只是使用MATLAB的数值计算的功能，通过这个实验，对于MATLAB强大的仿真功能有了更加深刻的了解，为深层次的学习此软件开了一个很好的头。
通过MATLAB画出的电场线和等势线能加深我们对电场的了解，在画图的过程中，我明白了当四个电荷电量相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的，电场线与等势线总是垂直的。
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