高考数学专题六解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质学案理.docx

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高考数学专题六解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质学案理

第二讲　圆锥曲线的方程与性质

考点一　圆锥曲线的定义与标准方程

圆锥曲线的定义

（1）椭圆：

|PF1|＋|PF2|＝2a（2a>|F1F2|）；

（2）双曲线：

||PF1|－|PF2||＝2a（2a<|F1F2|）；

（3）抛物线：

|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.

[对点训练]

1．（2018·江西九江模拟）F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为（　　）

A．7B.C.D.

[解析]　由题意可得，a＝3，b＝，c＝，|AF1|＋|AF2|＝6.

∴|AF2|＝6－|AF1|.

在△AF1F2中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴（6－|AF1|）2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，

解得|AF1|＝，

∴△AF1F2的面积S＝××2×＝，故选C.

[答案]　C

2．（2018·河南新乡二模）已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

[解析]　不妨设B（0，b），由＝2，F（c,0），可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，∴＝，①

又||＝＝4，c2＝a2＋b2，

∴a2＋2b2＝16，②

由①②可得，a2＝4，b2＝6，

∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.

[答案]　D

3．抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为（　　）

A．y2＝6xB．y2＝8x

C．y2＝16xD．y2＝x

[解析]　设M（x，y），因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4（p＝－4舍去）．所以抛物线的方程为y2＝8x.

[答案]　B

4．（2018·安徽淮南三校联考）已知双曲线－＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（　　）

A．4＋B．4（1＋）

C．2（＋）D.＋3

[解析]　由题意知F（，0），设左焦点为F0，则F0（－，0），由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4（＋1），当且仅当A、F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.

[答案]　B

[快速审题]　看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．

　求解圆锥曲线标准方程的思路方法

（1）定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．

（2）计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.

考点二　圆锥曲线的几何性质

1．在椭圆中：

a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.

2．在双曲线中：

c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.

3．双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±x.

[解析]　

[答案]　

（1）A　

（2）D

[解析]　

[答案]　

[解析]　

[答案]　

[解析]　

[答案]　C

[解析]　

[答案]　A

考点三　抛物线中的最值问题

[解析]　

（1）由题意得圆x2＋（y－4）2＝1的圆心A（0,4），半径r＝1，抛物线的焦点F（1,0）．由抛物线的几何性质可得：

点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.选C.

（2）过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，

故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.

当A、P、M三点共线时，

|PA|＋|PM|最小，此时点P坐标为（2,2），故选C.

[答案]　

（1）C　

（2）C

　与抛物线最值有关问题的两种转化

（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．

[对点训练]

1．（2018·郑州检测）已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（　　）

A.B.C．1D．2

[解析]　由题意知，抛物线的准线l：

y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则

|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|（F为抛物线的焦点），即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，选D.

[答案]　D

2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为（　　）

A．6B．2＋4

C．2D．4

[解析]　由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F（－2,0），准线方程为x＝2.设点A的坐标为（x0，y0），根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′（4,0），则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2.

[答案]　C

1．（2018·浙江卷）双曲线－y2＝1的焦点坐标是（　　）

A．（－，0），（，0）B．（－2,0），（2,0）

C．（0，－），（0，）D．（0，－2），（0,2）

[解析]　∵a2＝3，b2＝1，∴c＝＝2.又∵焦点在x轴上，∴双曲线的焦点坐标为（－2,0），（2,0）．

[答案]　B

2．（2018·天津卷）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

[解析]　∵双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，

由题意可设A（2a,3a），B（2a，－3a），

∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，

则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9，∴双曲线的方程为－＝1，故选C.

[答案]　C

3．（2018·全国卷Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

[解析]　由题意易知直线AP的方程为y＝（x＋a），①

直线PF2的方程为y＝（x－c）．②

联立①②得y＝（a＋c），

如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则|PH|＝（a＋c）．

因为∠PF2H＝60°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PH|＝（a＋c），

所以sin60°＝＝

＝，

即a＋c＝5c，即a＝4c，

所以e＝＝.故选D.

[答案]　D

4．（2018·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1（a>0，b>0）的右焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．

[解析]　双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F（c,0）到这条渐近线的距离为＝c，∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝＝2.

[答案]　2

5．（2018·北京卷）已知椭圆M：

＋＝1（a>b>0），双曲线N：

－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．

[解析]　解法一：

如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．

∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，

∴＝.设m＝k，则n＝k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.

连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.

设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即（＋1）c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.

解法二：

双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，联立得方程组

解得＝－1.

[答案]　－1　2

圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．

热点课题15　几何情境下的圆锥曲线问题

[感悟体验]

1．（2018·福建福州质检）已知双曲线E：

－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝，则E的离心率是（　　）

A．2B.C.D.

[解析]　如图所示，设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于M、N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|，2a＝|PF1|－|PF2|＝（|AF1|＋|MA|＋|MP|）－（|NP|＋|NF2|）＝2|QA|＝2，故a＝，从而e＝＝＝，故选C.

[答案]　C

2.（2018·贵阳监测）已知点P是双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是________．

[解析]　由题意可知，ON为△PF1F2的中位线，∴PF1∥ON，

∴tan∠PF1F2＝tan∠NOF2＝kON＝，

∴

解得

又|PF2|－|PF1|＝2a，∴2b－2a＝2a，b＝2a，c＝＝a，e＝＝.

[答案]　

专题跟踪训练（二十五）

一、选择题

1．（2018·广西三市第一次联合调研）若抛物线y2＝2px（p>0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（　　）

A.B．1C.D．2

[解析]　由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2，∵p>0，∴p＝2.故选D.

[答案]　D

2．（2018·深圳一模）过点（3,2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

[解析]　椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为（±，0），可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1.故选C.

[答案]　C

3．（2018·福州模拟）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为（　　）

A.