阶段性综合检测理5Word文档下载推荐.docx
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A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β
C.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β
∵α∥β,b⊥β,∴b⊥α.
∵a⊂α,∴a⊥b,故选C.
C
3.(2013·
辽宁)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A.B.2
C.D.3
设BC的中点为M,连接OM,AM,则可知OM⊥面ABC,连接AO,则AO的长为球半径,可知OM=6,AM=,在Rt△AOM中,由勾股定理得R=.
4.(2014·
卫辉月考)已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为( )
A.16πB.8π
C.4πD.2π
解答三视图相关题目的关键是正确转化,一是位置关系,二是数量关系.据已知三视图易知三棱锥外接球的半径为1,故其表面积为4π.
5.(2014·
豫北六校精英联考)设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列四个命题:
①若α⊥β,l⊥β,则l∥α;
②若l⊥α,l∥β,则α⊥β;
③若l上有两点到α的距离相等,则l∥α;
④若α⊥β,α∥γ,则γ⊥β.
其中正确命题的序号是( )
A.①②B.①④
C.②④D.③④
①若α⊥β,l⊥β,则l∥α或l⊂α,故①不正确;
②l∥β,则过l作一平面γ使平面β与γ相交,交线设为l′,那么l∥l′,∵l⊥α,∴l′⊥α,又l′⊂β,∴α⊥β,故②正确;
③不正确,如l与平面α相交;
④正确.
6.(2014·
江西上饶中学二模)以下四个命题中,正确命题的个数是( )
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A、B、C、D、E共面;
③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
A.1B.2
C.3D.4
①正确,可以用反证法证明;
②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确;
③不正确,共面不具有传递性;
④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上.
A
7.(2014·
河南适应性测试)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥轴截面的顶角等于( )
A.120°
B.90°
C.60°
D.45°
画出圆锥的轴截面,如图所示,设底面半径为r,侧棱长为l,则侧面积等于πrl,底面积等于πr2,由于πrl∶πr2=∶1,所以l=r.于是圆锥的高AD=r,所以∠DAC=45°
,故圆锥轴截面的顶角等于90°
.
8.(2014·
江西五校联考)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°
角,则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A.B.1
C.D.
如图所示,直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB,则A1C1到底面ABCD的距离为AA1,在Rt△ABB1中,BB1=AB·
tan60°
=,所以AA1=BB1=.
D
9.(2014·
宁夏育才中学月考)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是( )
A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
如图所示,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底面所成角相等,即A正确;
底面四边形必有一个外接圆,即C正确;
在高线上可以找到一个点O,使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即D正确;
但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立),故仅选项B为假命题.
10.(2014·
延边质检)如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,∠BAD=60°
,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为( )
A.B.
|MN|=2,则|DP|=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球,则球的体积为V=π·
r3=.∵∠BAD=60°
,∴∠ADC=120°
,120°
为360°
的,只取半球的,则V=π×
×
=π.
11.(2014·
枣庄期末)如图所示,在三棱柱ABC-A′B′C′中,E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点,G为△ABC的重心.从K、H、G、B′中取一点,设为P,使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF平行,则P为点
A.GB.H
C.KD.B′
若P为点G,连接BC′,则F为BC′的中点,∴EF∥AB,EF∥A′B′,∴AB∥平面GEF,A′B′∥平面GEF,∴P为点G符合题意;
若P为点K,则有三条侧棱与该平面平行,不符合题意.若点P为点H,则有上下两底面中的六条棱与该平面平行,不符合题意;
若点P为点B′,则只有一条棱AB与该平面平行,也不符合题意,故选A.
12.(2014·
哈尔滨月考)如图,一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞D,E,F,且知SD∶DA=SE∶EB=CF∶FS=2∶1,若仍用这个容器盛水,则最多可盛水的体积是原来的( )
要确定最多盛水的体积就需要确定,因为===,
又因为三棱锥E-SDF与三棱锥B-ASC的高之比为2∶3,因此==,
所以最多可盛水的体积为原来的.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2013·
辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.
由三视图可知该几何体是从一个半径为2,高为4的圆柱中间挖去一个底面边长为2,高为4的正四棱柱,所以其体积为π·
22×
4-22×
4=16π-16.
16π-16
14.(2014·
豫南九校联考)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.
根据类比的思想,在平面上,对应的平面图形的面积比是边长比的平方,在空间中,对应的立体图形的体积比是棱长比的立方,其其体积比是1∶8.
1∶8
15.(2014·
兖州二模)给出下列四个命题:
①对平面外一点,作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条;
②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行;
③对确定的两条异面直线,过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行;
④对两条异面的直线,都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等.
其中正确命题的序号为________.
①错,当θ=90°
时,这样的直线有且只有一条;
②正确,由线面平行的性质定理及判定定理推导即可;
③错,当此点与两异面直线之一所确定的平面与另一异面直线平行时,过此点不存在平面与两异面直线平行;
②④
16.(2014·
济南统考)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是________.
如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),
C(-a,0,0),P(0,-,),
S(0,0,a)
则=(2a,0,0),
=(-a,-,),
=(a,a,0).
设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),
cos〈,n〉===,
∴〈,n〉=60°
,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°
-60°
=30°
30°
三、解答题(本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(2014·
郑州质检)(本小题满分12分)如图所示,ABC-A1B1C1是各条棱长为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,P是侧棱BB1的中点,O是△ABC的重心.
(1)求证:
平面AB1D⊥平面ABB1A1;
(2)求证:
PO∥平面AB1D.
证明:
(1)取AB1的中点E,AB的中点F,连接DE、CF,由题意知B1D=AD,故DE⊥AB1,又CF⊥AB,CF∥DE,故DE⊥AB,∴DE⊥平面ABB1A1.
又DE⊂平面AB1D,∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
(2)连接PF、PC.∵P、F分别为BB1、BA的中点,
∴PF∥AB1,PC∥B1D,
∴平面PFC∥平面AB1D,又PO⊂平面PFC,
∴PO∥平面AB1D.
18.(2014·
东北三校联合模拟)(本小题满分12分)如图所示,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°
,AB=2,AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
AB⊥DE;
(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.
解:
(1)在△ABD中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°
∴BD==2,
∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD,
平面EBD∩平面ABD=BD,AB⊂平面ABD,
∴AB⊥平面EBD.
∵DE⊂平面EBD,∴AB⊥DE.
(2)由
(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB,∴CD⊥BD,从而DE⊥BD.
在Rt△DBE中,∵DB=2,DE=DC=AB=2,
∴S△DBE=DB·
DE=2.
又∵AB⊥平面EBD,BE⊂平面EBD,∴AB⊥BE.
∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE=AB·
BE=4.
∵DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,
∴ED⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD,
∴ED⊥AD,∴S△ADE=AD·
DE=4.
综上所述,三棱锥E-ABD的侧面积S=8+2.
19.(2014·
开封二模)(本小题满分12分)
已知M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱B1C1和B1B的中点.
(1)求MN与A1C1所成角的大小;
(2)求MN与平面ACC1A1所成角的大小.
(1)设正方体的棱长为1,建立直角坐标系Dxyz(如图).
则A1(1,0,1),C1(0,1,1),
M(,1,1),N(1,1,),
∴=(,0,-),
=(-1,1,0).
∴cos〈,〉===-,
∴〈,〉=120°
而异面直线所成角在(0,]内,
∴MN与A1C1成60°
角