高中数学选修2-1课时作业:综合测评一+Word版含答案Word格式文档下载.doc
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A.x+y=2 B.x+y>
2
C.x2+y2>
2 D.xy>
1
5.已知α,β为互不重合的平面,m,n为互不重合的直线,给出下列四个命题:
①若m⊥α,n⊂α,则m⊥n;
②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;
④若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.其中所有正确命题的序号是:
A.①③ B.②④
C.①④ D.③④
6.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B.2
C.4 D.8
7.若双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>
0)相切,则r=( )
C.3 D.6
8.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>
b>
0)上的一点,若·
=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
9.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
10.设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:
①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;
②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;
③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;
④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
11.如图,F1,F2分别是双曲线C:
-=1(a,b>
0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF1|=|F1F2|,则C的离心率是( )
12.已知二面角α-l-β的平面角为θ,点P在二面角内,PA⊥α,PB⊥β,A,B为垂足,且PA=4,PB=5,设A,B到棱l的距离为x,y,当θ变化时,点(x,y)的轨迹是( )
A.x2-y2=9(x≥0) B.x2-y2=9(x≥0,y≥0)
C.y2-x2=9(y≥0) D.y2-x2=9(x≥0,y≥0)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.若命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<
0”为假命题,则实数a的取值范围是________.
14.双曲线-=1的一个焦点到其渐近线的距离是________.
15.若A为抛物线y=x2的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点,则·
等于______.
16.如图,双曲线-=1(a,b>
0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则
(1)双曲线的离心率e=________;
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,17题10分,18~22题,每题12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求方程有两个大于1的根的充要条件.
18.
(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真;
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).
19.已知命题p:
∀x∈R,cos2x+sinx+a≥0,命题q:
∃x∈R,ax2-2x+a<
0,命题p∨q为真,命题p∧q为假.求实数a的取值范围.
20.已知椭圆C:
+=1(a>
0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M、N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
21.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°
,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求证:
BD⊥平面AED;
(2)求二面角F-BD-C的余弦值.
22.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的焦点在y轴上,且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A,B两点.
(1)求抛物线C的标准方程,及抛物线在P点处的切线方程;
(2)若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M,N两点(M,N位于直线l两侧),当四边形AMBN为菱形时,求直线l的方程.
参考答案:
1.解析:
向量的共线和平行是一样的,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b≠0,a∥b⇔a=λb,a=(1,-3,2)=-1,故选C.
答案:
C
2.解析:
∀x的否定为∃x0,>
的否定为≤,所以命题綈p为∃x0∈(-,),tanx0≤sinx0.
3.析:
依题意得f(x)=a2x2+2(a·
b)x+b2.由函数f(x)是偶函数,得a·
b=0,又a,b为非零向量,所以a⊥b;
反过来,由a⊥b得,a·
b=0,f(x)=a2x2+b2,函数f(x)是偶函数.综上所述,“函数f(x)=(ax+b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件,选C.
4.解析:
当x+y>
2时,x,y中至少有一个数大于1;
当x,y中至少有一个数大于1,x+y不一定大于2.
B
5.解析:
对于②没明确m,n的关系,若m,n平行,则α不一定平行于β;
对于④,n也不能在β内,故②④错.
A
6.解析:
抛物线y2=16x的准线方程是x=-4,所以点A(-4,2)在等轴双曲线C:
x2-y2=a2(a>
0)上,将点A的坐标代入得a=2,所以C的实轴长为4.
7.解析:
双曲线-=1的渐近线方程为y=±
x,因为双曲线的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>
0)相切,故圆心(3,0)到直线y=±
x的距离等于圆的半径r,则r==.
8.解析:
由·
=0,得△PF1F2为直角三角形,由tan∠PF1F2=,设|PF2|=s,则|PF1|=2s,又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c=),即4c2=5s2,c=s,而|PF2|+|PF1|=2a=3s,∴a=,∴e==,故选D.
D
9.解析:
设CA=2,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,1),可得向量=(-2,2,1),=(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos〈,〉===,故选A.
10.解析:
①作直线c∥α,且与b相交,∵a⊥α,∴a⊥c,∴a垂直过b与c的平面,设为γ,γ与α垂直于同一直线,故γ∥α,b⊂γ,∴b∥α,故①正确;
②∵a∥α,∴必有直线b⊂α,且b∥a,∵a⊥β,∴b⊥β
∴α⊥β,故②正确.
③∵α⊥β,∴存在直线b⊂α且b⊥β,又∵a⊥β,∴a∥b,∴a∥α成直线a⊂α,故③正确
④若b⊂α,④显然成立,若b⊄α,由①知b∥α,结合②知,必有α⊥β,故④正确.
11.解析:
不妨设c=1,则直线PQ:
y=bx+b,两渐近线为y=±
x,因此有交点P(-,),Q(,),设PQ的中点为N,则点N的坐标为(,),
因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,|MF2|=|F1F2|,所以点M的坐标为(3,0),
因此有kMN==-,所以3-4a2=b2=1-a2,
所以a2=,所以e=.
12.解析:
如图,设AC=x,BC=y,则|PC|2=x2+42=y2+52,∴x2-y2=9(x≥0,y≥0)
13.解析:
原命题的否定形式为∀x∈R,2x2-3ax+9≥0,为真命题.即2x2-3ax+9≥0恒成立,∴只需Δ=(-3a)2-4×
2×
9≤0,解得-2≤a≤2.
[-2,2]
14.解析:
∵双曲线-=1的左,右焦点坐标分别为(-5,0),(5,0),渐近线方程为y=±
x,∴焦点(5,0)到渐近线3x-4y=0的距离为=3.
3
15.解析:
抛物线y=x2的焦点为(0,1),顶点A(0,0),设过(0,1)的直线方程为y=kx+1,B(x1,y1),C(x2,y2),y=kx+1与y=x2联立得x2-4kx-4=0,·
=(x1,y1)·
(x2,y2)=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=x1x2(k2+1)+k(x1+x2)+1
x1x2=-4,x1+x2=4k,∴·
=-4(k2+1)+k×
4k+1=-3
-3
16.解析:
(1)由题意可得a=bc,
∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴e2=,∴e=.
(2)设sinθ=,cosθ=,
====e2-=.
(1)
(2)
17.解:
设方程的两根为x1,x2,且x1>
1,x2>
1.由题意可得
,即.
由根与系数的关系,得,
解得k<
-2.
当k<
-2时,可知方程x2+(2k-1)x+k2=0的两根都大于1.因此方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的充要条件是k<
18.解:
(1)法一:
如图,过直线b上任一点作平面π的垂线n,设直线a,b,c,n的方向向量分别为a,b,c,n,则b,c,n共面.根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得c=λb+μn.
则a·
c=a·
(λb+μn)=λ(a·
b)+μ(a·
n),
因为a⊥b,所以a·
b=0,
又因为a⊂π,n⊥π,所以a·
n=0,故a·
c=0,从而a⊥c.
法二:
如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P作PO⊥π,垂足为O,则O∈c.
∵PO⊥π,a⊂π,∴直线PO⊥a,
又a⊥b,b⊂平面PAO,PO∩b=P,
∴a⊥平面PAO,又c⊂平面PAO,∴a⊥c.
(2)逆命题为:
a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b.
逆命题为真命题.
19.解:
由命题p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2(sinx-)2-,
因为sinx∈[-1,1],所以当sinx=-1时,(2sin2x-sinx-1)max=2,所以命题p:
a≥2,由命题q得:
当a≤0时显然成立;
当a>
0时,需满足Δ=4-4a2>
0,解得0<
a<
所以命题q:
因为命题p∨q为真,命题p∧q为假,所以命题p和q一真一假
若命题p真q假,则a≥2;
若命题p假q真,则a<
综上,实数a的取值范围是(-∞,1)∪[2,+∞).
20.解:
(1)由题意得解得b=,
所以椭圆C的方程为+=