高中数学数列知识点解析Word下载.doc

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等比数列的性质

等比数列的前n项和

定义

递推公式

；

通项公式

（）

中项

前项和

重要性质

1.⑴等差、等比数列：

=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d

求和公式

中项公式

A=推广：

2=

。

推广：

性质

1

若m+n=p+q则

若m+n=p+q，则。

2

若成A.P（其中）则也为A.P。

若成等比数列（其中），则成等比数列。

3

．成等差数列。

成等比数列。

4

，

5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①

②2（）

③（为常数）.

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：

②（，）①

注①：

i.，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.

ii.（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.

iii.→为a、b、c等比数列的必要不充分.

iv.且→为a、b、c等比数列的充要.

注意：

任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.

③（为非零常数）.

④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.

⑷数列{}的前项和与通项的关系：

[注]：

①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.

②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；

若不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；

②若等差数列的项数为2，则；

③若等差数列的项数为，则，且，

.

3.常用公式：

①1+2+3…+n=

②

③

熟悉常用通项：

9，99，999，…；

5，55，555，….

4.等比数列的前项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题.例如：

一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元.因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款应用题：

为分期付款方式贷款为a元；

m为m个月将款全部付清；

为年利率.

5.数列常见的几种形式：

⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.

具体步骤：

①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；

③由初始值确定.

⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；

②逐项选代；

③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；

④（公式法），由确定.

①转化等差，等比：

.

②选代法：

③用特征方程求解：

④由选代法推导结果：

6.几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值.如何确定使取最大值时的值，有两种方法：

一是求使，成立的值；

二是由利用二次函数的性质求的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：

错位相减求和.例如：

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

（1）定义法:

对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

（2）通项公式法。

（3）中项公式法:

验证都成立。

3.在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：

（1）当>

0,d<

0时，满足的项数m使得取最大值.

（2）当<

0,d>

0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1.公式法:

适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:

适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；

部分无理数列、含阶乘的数列等。

　　　3.错位相减法:

适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法:

类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）:

1+2+3+...+n=

2）1+3+5+...+（2n-1）=

3）

4）

5）

6）

练习：

1、在公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和公式.

2、已知等差数列满足：

，的前项和为。

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令（其中为常数，且），求证数列为等比数列。

3、在等比数列中，，且，是和的等差中项.

（Ⅱ）若数列满足（），求数列的前项和.

4、已知等比数列中，.

（Ⅰ）若为等差数列，且满足，求数列的通项公式;

（Ⅱ）若数列满足,求数列的前项和.

5、设数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：

．

6、设数列的前项和为，且．数列满足，．

（Ⅱ）证明：

数列为等差数列，并求的通项公式；

（Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在常数，使得不等式恒成立？

若存在，求出的取值范围；

若不存在，请说明理由．

7数列中,,（是常数,）,且成公比不为的等比数列.

（1）求的值;

（2）求的通项公式;

21世育网（3）求最小的自然数,使.

8.设等差数列的前n项和为,且,.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设数列前n项和为,且（为常数）.令.求数列的前n项和.

9.数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0,且（n+1）an2+an·

an+1－

nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.

（1）求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；

（2）求数列{bn}的前n项和Tn；

（3）猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由.

10设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.

（Ⅰ）求的值;

　（Ⅱ）求数列的通项公式;

（Ⅲ）证明:

对一切正整数,有.