高中数学排列组合及二项式定理知识点文档格式.doc

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（2）排列数、组合数：

排列数的公式：

注意：

①全排列：

；

②记住下列几个阶乘数，1！

=1，2！

=2，3！

=6，4！

=24，5！

=120，6！

=720；

排列数的性质：

①（将从个不同的元素中取出个元素，分两步完成：

第一步从个元素中选出1个排在指定的一个位置上；

第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上）

②（将从个不同的元素中取出个元素，分两类完成：

第一类：

个元素中含有，分两步完成：

第一步将排在某一位置上，有不同的方法。

即有种不同的方法。

第二类：

个元素中不含有，从个元素中取出个元素排在个位置上，有种方法。

组合数的公式：

组合数的性质：

①（从个不同的元素中取出个元素后，剩下个元素，也就是说，从个不同的元素中取出个元素的每一个组合，都对应于从个不同的元素中取出个元素的唯一的一个组合。

）

②（分两类完成：

含，有种方法；

不含，有种方法；

③（第一步：

先选出1个元素，第二步：

再从余下个元素中选出个，但有重复，如先选出，再选出组成一个组合，与先选出，再选出组成一个组合是相同的，且重复了次）

④（分类：

含，为；

不含，含，为；

第三类：

不含，不含，含，为；

……）

⑤（将元素分成分成两个部分，第一部分含个元素，第二部分含个元素：

在第一部分中取个元素，在第二部分不取元素，有；

在第一部分中取个元素，在第二部分取1个元素，有；

（3）排列、组合的应用：

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步

切记：

排组分清（有序排列、无序组合），分类分步明确

排列组合应用问题主要有三类：

不带限制条件的排列或组合题；

带限制条件的排列或组合题；

排列组合综合题；

解排列组合的应用题，通常有以下途径：

①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素法

②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置法

③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数——间接法

（4）对解组合问题，应注意以下三点：

①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。

②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。

③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

（3）解排列、组合题的基本策略与方法：

①去杂法：

对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

②分类处理：

某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

这是解排列组合问题的基本策略之。

注意的是：

分类不重复不遗漏。

即：

每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

③分步处理：

与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。

在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

④插入法（插空法）：

某些元素不能相邻采用插入法。

即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑤“捆绑”法：

要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。

⑥穷举法：

将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。

⑦消序处理：

对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。

三、二项式定理：

（1）通项：

（2）二项式系数的性质：

①二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：

②二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，

即当为偶数时，第项的二项式系数最大，为；

当为奇数时，第项及项的二项式系数最大，为；

③二项展开式中所有项的二项式系数之和等于，即；

④二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即；

⑤

（3）、展开式中的系数求法（的整数且）

如：

展开式中含的系数为

（4）二项式定理的应用：

①求展开式中的指定的项或特定项：

①若，展开式中含有常数项，则的最小值是；

②求的展开式中的常数项。

三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。

②求展开式中的某一项的系数：

在的展开式中，的系数是；

③求展开式中的系数和：

的所有各项的系数和是（赋值法：

令）；

（令）

④求二项式展开式的系数最大项的问题：

求展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为；

设第项系数最大，则；

然后求出不等式组的整数解。

求展开式中系数最大的项。

⑤利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：

求证：

能被64整除（）

⑥证明有关的不等式问题：

有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小），或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。

①；

②；

（）

⑦进行近似计算：

求数的次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数（或减一个小数）的形式。

当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

求的近似值，使结果精确到0.01；