高中数学排列组合及二项式定理知识点文档格式.doc
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(2)排列数、组合数:
排列数的公式:
注意:
①全排列:
;
②记住下列几个阶乘数,1!
=1,2!
=2,3!
=6,4!
=24,5!
=120,6!
=720;
排列数的性质:
①(将从个不同的元素中取出个元素,分两步完成:
第一步从个元素中选出1个排在指定的一个位置上;
第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上)
②(将从个不同的元素中取出个元素,分两类完成:
第一类:
个元素中含有,分两步完成:
第一步将排在某一位置上,有不同的方法。
即有种不同的方法。
第二类:
个元素中不含有,从个元素中取出个元素排在个位置上,有种方法。
组合数的公式:
组合数的性质:
①(从个不同的元素中取出个元素后,剩下个元素,也就是说,从个不同的元素中取出个元素的每一个组合,都对应于从个不同的元素中取出个元素的唯一的一个组合。
)
②(分两类完成:
含,有种方法;
不含,有种方法;
③(第一步:
先选出1个元素,第二步:
再从余下个元素中选出个,但有重复,如先选出,再选出组成一个组合,与先选出,再选出组成一个组合是相同的,且重复了次)
④(分类:
含,为;
不含,含,为;
第三类:
不含,不含,含,为;
……)
⑤(将元素分成分成两个部分,第一部分含个元素,第二部分含个元素:
在第一部分中取个元素,在第二部分不取元素,有;
在第一部分中取个元素,在第二部分取1个元素,有;
(3)排列、组合的应用:
解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题,其次要搞清需要分类,还是需要分步
切记:
排组分清(有序排列、无序组合),分类分步明确
排列组合应用问题主要有三类:
不带限制条件的排列或组合题;
带限制条件的排列或组合题;
排列组合综合题;
解排列组合的应用题,通常有以下途径:
①以元素为主,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素——特殊元素法
②以位置为主,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置——特殊位置法
③先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减不合要求的排列数或组合数——间接法
(4)对解组合问题,应注意以下三点:
①对“组合数”恰当的分类计算,是解组合题的常用方法。
②是用“直接法”还是“间接法”解组合题,其前提是“正难则反”。
③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。
(3)解排列、组合题的基本策略与方法:
①去杂法:
对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
②分类处理:
某些问题总体不好解决时,常常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
这是解排列组合问题的基本策略之。
注意的是:
分类不重复不遗漏。
即:
每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。
③分步处理:
与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。
其原则是先分类,后分步。
④插入法(插空法):
某些元素不能相邻采用插入法。
即先安排好没有限制条件的元素,然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
⑤“捆绑”法:
要求某些元素相邻,把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列,即是“捆绑法”。
⑥穷举法:
将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。
⑦消序处理:
对均匀分组问题在解决时,一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”,若是“无序分组”,一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。
三、二项式定理:
(1)通项:
(2)二项式系数的性质:
①二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即:
②二项展开式中,中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大,
即当为偶数时,第项的二项式系数最大,为;
当为奇数时,第项及项的二项式系数最大,为;
③二项展开式中所有项的二项式系数之和等于,即;
④二项展开式中,奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等,即;
⑤
(3)、展开式中的系数求法(的整数且)
如:
展开式中含的系数为
(4)二项式定理的应用:
①求展开式中的指定的项或特定项:
①若,展开式中含有常数项,则的最小值是;
②求的展开式中的常数项。
三项或三项以上的展开式问题,把某两项结合为一项,利用二项式定理解决。
②求展开式中的某一项的系数:
在的展开式中,的系数是;
③求展开式中的系数和:
的所有各项的系数和是(赋值法:
令);
(令)
④求二项式展开式的系数最大项的问题:
求展开式中系数最大的项,通常设展开式各项系数分别为;
设第项系数最大,则;
然后求出不等式组的整数解。
求展开式中系数最大的项。
⑤利用二项式定理证明整除问题及余数的求法:
求证:
能被64整除()
⑥证明有关的不等式问题:
有些不等式,可应用二项式定理,结合放缩法证明,即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小),或把某些负项删去(放大),使等式转化为不等式,然后再根据不等式的传递性进行证明。
①;
②;
()
⑦进行近似计算:
求数的次幂的近似值时,把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。
当充分小时,我们常用下列公式估计近似值:
求的近似值,使结果精确到0.01;