高中数学导数题型分析及解题方法Word格式文档下载.doc
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题型三:
利用导数研究函数的单调性,极值、最值
1.已知函数的切线方程为y=3x+1
(Ⅰ)若函数处有极值,求的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数在[-3,1]上的最大值;
(Ⅲ)若函数在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围
(1)由
过的切线方程为:
①
②
而过
故
∵③
由①②③得a=2,b=-4,c=5∴
(2)
当
又在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又由①知2a+b=0。
依题意在[-2,1]上恒有≥0,即
①当;
②当;
③当
综上所述,参数b的取值范围是
2.已知三次函数在和时取极值,且.
(1)求函数的表达式;
(2)求函数的单调区间和极值;
(3)若函数在区间上的值域为,试求、应满足的条件.
(1),
由题意得,是的两个根,解得,.
再由可得.∴.
(2),
当时,;
当时,.∴函数在区间上是增函数;
在区间上是减函数;
在区间上是增函数.
函数的极大值是,极小值是.
(3)函数的图象是由的图象向右平移个单位,向上平移4个单位得到的,
所以,函数在区间上的值域为().
而,∴,即.
于是,函数在区间上的值域为.
令得或.由的单调性知,,即.
综上所述,、应满足的条件是:
,且.
3.设函数.
(1)若的图象与直线相切,切点横坐标为2,且在处取极值,求实数的值;
(2)当b=1时,试证明:
不论a取何实数,函数总有两个不同的极值点.
(1)
由题意,代入上式,解之得:
a=1,b=1.
(2)当b=1时,
因故方程有两个不同实根.
不妨设,由可判断的符号如下:
当>0;
当<0;
当>0
因此是极大值点,是极小值点.,当b=1时,不论a取何实数,函数总有两个不同的极值点。
题型四:
利用导数研究函数的图象
1.如右图:
是f(x)的导函数,的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是(D)
(A)(B)(C)(D)
2.函数(A)
x
y
o
4
-4
2
-2
6
3.方程(B)
A、0B、1C、2D、3
题型五:
利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
1.设函数
(1)求函数的单调区间、极值.
(2)若当时,恒有,试确定a的取值范围.
(1)=,令得
列表如下:
(-∞,a)
a
(a,3a)
3a
(3a,+∞)
-
+
极小
极大
∴在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减
时,,时,
(2)∵,∴对称轴,
∴在[a+1,a+2]上单调递减
∴,
依题,即
解得,又∴a的取值范围是
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间
(2)若对xÎ
〔-1,2〕,不等式f(x)<
c2恒成立,求c的取值范围。
(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f¢
(x)=3x2+2ax+b
由f¢
()=,f¢
(1)=3+2a+b=0得a=,b=-2
f¢
(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
(-¥
,-)
-
(-,1)
1
(1,+¥
)
(x)
+
f(x)
极大值
¯
极小值
所以函数f(x)的递增区间是(-¥
,-)与(1,+¥
),递减区间是(-,1)
(2)f(x)=x3-x2-2x+c,xÎ
〔-1,2〕,当x=-时,f(x)=+c
为极大值,而f
(2)=2+c,则f
(2)=2+c为最大值。
要使f(x)<
c2(xÎ
〔-1,2〕)恒成立,只需c2>
f
(2)=2+c,解得c<
-1或c>
题型六:
利用导数研究方程的根
1.已知平面向量=(,-1).=(,).
(1)若存在不同时为零的实数k和t,使=+(t2-3),=-k+t,⊥,
试求函数关系式k=f(t);
(2)据
(1)的结论,讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
(1)∵⊥,∴=0即[+(t2-3)]·
(-k+t)=0.
整理后得-k+[t-k(t2-3)]+(t2-3)·
=0
∵=0,=4,=1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=t(t2-3)
(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
于是f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表:
t
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
(1,+∞)
f′(t)
F(t)
↗
↘
当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=.
当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-
函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13-2-1所示,
可观察出:
(1)当k>或k<-时,方程f(t)-k=0有且只有一解;
(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解;
(3)当-<k<时,方程f(t)-k=0有三解.
题型七:
导数与不等式的综合
1.设在上是单调函数.
(1)求实数的取值范围;
(2)设≥1,≥1,且,求证:
.
(1)若在上是单调递减函数,则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.
若在上是单调递增函数,则≤,
由于.从而0<
a≤3.
(2)方法1、可知在上只能为单调增函数.若1≤,则若1≤矛盾,故只有成立.
方法2:
设,两式相减得≥1,u≥1,
,
2.已知为实数,函数
(1)若函数的图象上有与轴平行的切线,求的取值范围
(2)若,(Ⅰ)求函数的单调区间
(Ⅱ)证明对任意的,不等式恒成立
函数的图象有与轴平行的切线,有实数解
,,所以的取值范围是
,,,
由或;
由
的单调递增区间是;
单调减区间为
易知的最大值为,的极小值为,又
在上的最大值,最小值
对任意,恒有
题型八:
导数在实际中的应用
1.请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。
试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
设OO1为,则
由题设可得正六棱锥底面边长为:
,(单位:
故底面正六边形的面积为:
=,(单位:
帐篷的体积为:
(单位:
求导得。
令,解得(不合题意,舍去),,
当时,,为增函数;
当时,,为减函数。
∴当时,最大。
答:
当OO1为时,帐篷的体积最大,最大体积为。
2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米。
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
(I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗没(升)。
(II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,
依题意得
令得
当时,是减函数;
当时,是增函数。
当时,取到极小值
因为在上只有一个极值,所以它是最小值。
答:
当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。
题型九:
导数与向量的结合
1.设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k,使
(1)求函数关系式;
(2)若函数在上是单调函数,求k的取值范围。
则在上有
由;
由。
因为在t∈上是增函数,所以不存在k,使在上恒成立。
故k的取值范围是。
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