高中数学完整讲义排列与组合5.排列组合问题的常见模型1Word格式文档下载.docx
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⑴排列：
一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：
从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
排列数公式：
，，并且．
全排列：
一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．
的阶乘：
正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：
．
⑵组合：
一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．
组合数：
从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．
组合数公式：
组合数的两个性质：
性质1：
；
性质2：
．（规定）
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：
先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：
先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：
对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：
某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：
某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：
个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．
7．分组、分配法：
分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！
，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！
8．错位法：
编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
①元素分析法：
以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：
先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；
再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
最后列出式子计算作答．
2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；
对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；
分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
典例分析
排队问题
【例1】三个女生和五个男生排成一排
⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
【例2】个人站成一排：
⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？
【例3】7名同学排队照相．
⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？
【例4】个队员排成一排，
⑴共有多少种不同的排法？
⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？
【例5】五个字母排成一排，若的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．
【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，
5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有___个（用数字作答）．
【例7】记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【例8】名同学合影，站成前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）
A． B． C． D．
【例9】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
【例10】在数字与符号五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）
A． B． C． D．
【例11】计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．
【例12】6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．
【例13】一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？
【例14】位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A． B． C． D．
【例15】古代“五行”学说认为：
“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．
【例16】在的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式共有（）种．
A．B．C．D．
【例17】从集合与中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）
【例18】从集合与中各任取个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）
【例19】个人坐在一排个座位上，问
⑴空位不相邻的坐法有多少种?
⑵个空位只有个相邻的坐法有多少种?
⑶个空位至多有个相邻的坐法有多少种?
【例20】位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
【例21】12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（）
A．B．C．D．
【例22】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本．将它们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是_______．
【例23】年月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对列电煤货运列车进行编组调度，决定将这列列车编成两组，每组列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组列列车先开出，那么这列列车先后不同的发车顺序共有（）
A．种B．种C．种D．种
数字问题
【例24】给定数字、、、、、，每个数字最多用一次，
⑴可能组成多少个四位数？
⑵可能组成多少个四位奇数？
⑶可能组成多少个四位偶数？
⑷可能组成多少个自然数？
【例25】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【例26】在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．
【例27】用排成一个数字不重复的五位数，满足的五位数有多少个？
【例28】用这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是，则这样的四位数共有多少个？
【例29】用数字组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．
【例30】有张分别标有数字的红色卡片和张分别标有数字的蓝色卡片，从这张卡片中取出张卡片排成一行．如果取出的张卡片所标数字之和等于，则不同的排法数一共有种．
【例31】有张卡片分别标有数字，，，，，，，，从中取出张卡片排成行列，要求行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为，则不同的排法共有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
【例32
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