高中数学完整讲义二项式定理2.二项展开式2求展开式中的特定项Word格式.docx

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②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．

③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．

④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．

⑤设，则得公式：

⑥通项是中含有五个元素，

只要知道其中四个即可求第五个元素．

⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．

2．二项式系数的性质

⑴杨辉三角形：

对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．

杨辉三角有如下规律：

“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”

⑵二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是：

，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：

．

当时，的图象为下图：

这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．

①对称性：

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

事实上，这一性质可直接由公式得到．

②增减性与最大值

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．

由于展开式各项的二项式系数顺次是

，

，．．．，

，，．．．，

其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．

当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．

当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．

这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．

③二项式系数的和为，即．

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即

常见题型有：

求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．

典例分析

二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）

常数项

【例1】在展开式中，系数为有理数的项共有项．

【例2】的展开式中共有_____项是有理项．

【例3】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．

【例4】的展开式中的常数项为_________．

【例5】二项式的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为．（用数字作答）

【例6】若的展开式中的常数项为，则实数___________．

【例7】在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为．

【例8】在的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）

【例9】如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则，展开式中的常数项的值等于．

【例10】的展开式中常数项为（用数字作答）

【例11】若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．

【例12】若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于．

【例13】在的二项展开式中，若常数项为，则等于（用数字作答）

【例14】的展开式中，常数项为15，则．

【例15】已知的展开式中没有常数项，，且，则______．

【例16】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．

【例17】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（用数字作答）

【例18】已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（）

A．3个B．2C．1D．0

【例19】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．

【例20】的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．

【例21】的展开式中常数项为（用数字作答）

【例22】已知的展开式的常数项是第项，则的值为（）

A． B． C． D．

【例23】在的二项展开式中，若常数项为，则等于（用数字作答）

【例24】的展开式中，常数项为15，则．

【例25】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．

【例26】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（用数字作答）

【例27】已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（）

【例28】展开式中的常数项为（）

A． B． C． D．

【例29】求展开式中的常数项．

【例30】的展开式的常数项是（用数字作答）

【例31】在的二项展开式中，若常数项为，则等于（）

Ａ． 

Ｂ． 

Ｃ． 

Ｄ．

【例32】的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是．

【例33】若的展开式中存在常数项，则的值可以是（）

A．B．C．D．

【例34】在的展开式中常数项是，中间项是．

【例35】已知的展开式中没有常数项，，且，则______．

【例36】若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于．

【例37】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）

A． 

B． 

C． 

D．

【例38】若展开式中的二项式系数和为，则等于________；

该展开式中的常数项为_________．

【例39】若的展开式中常数项为，则_____，其展开式中二项式系数之和为_________．

【例40】若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）

A． B． C． D．

有理项

【例41】求二项式的展开式中：

⑴常数项；

⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；

⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．

【例42】的展开式中共有_______项是有理项．

【例43】二项式的展开式中：

⑴求常数项；

⑵有几个有理项；

⑶有几个整式项．

【例44】已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列

①求；

②求展开式中的有理项．

【例45】二项展开式中，有理项的项数是（）

A．B．C．D．

【例46】在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则

A．1B．C．D．

【例47】的展开式中，含的正整数次幂的项共有（）

A．项 B．项 C．项 D．项

【例48】若（，为有理数），则（）

A． B． C． D．

系数最大的项

【例49】已知的展开式中前三项的系数成等差数列．

⑴求的值；

⑵求展开式中系数最大的项．

【例50】展开式中系数最大的项是第几项？

【例51】已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．

【例52】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．

A． B． C．D．

【例53】已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．

【例54】求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．

【例55】已知展开式中的倒数第三项的系数为，求：

⑴含的项；

⑵系数最大的项．

【例56】设，，的展开式中，的系数为．

⑴求展开式中的系数的最大、最小值；

⑵对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．

【例57】已知：

的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．

⑴求展开式中二项式系数最大的项；

【例58】展开式中系数最大的项是第几项？

【例59】关于二项式有下列命题：

①该二项展开式中非常数项的系数和是：

②该二项展开式中第六项为；

③该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；

④当时，除