高中数学函数压轴题(精制)Word文档格式.doc

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（Ⅰ）证明：

f（x）+2+f（2a－x）=0对定义域内的所有x都成立.

（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+,a+1]时，求证：

f（x）的值域为[－3，－2]；

（Ⅲ）设函数g（x）=x2+|（x－a）f（x）|,求g（x）的最小值.

5.设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.　　对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

（1）证明：

对任意的，，若，则为含峰区间；

若，则为含峰区间；

（2）对给定的，证明：

存在，满足，使得由

（1）所确定的含峰区间的长度不大于；

6.设关于的方程的两根分别为、，函数

（1）证明在区间上是增函数；

（2）当为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小

7.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数，，及任意的，当甲公司投入万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；

当乙公司投入万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：

（1）请解释；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？

（3）若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：

若甲先投入万元，乙在上述策略下，投入最少费用；

而甲根据乙的情况，调整宣传费为；

同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为如此得当甲调整宣传费为时，乙调整宣传费为；

试问是否存在，的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.

8.设是定义域在上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.

（l）求证在上是减函数；

（ll）如果，的定义域的交集为空集，求实数的取值范围；

（lll）证明若，则，存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.

9.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z。

（1）若b>

2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<

2（x02＋1）成立，求c的值。

10.已知函数在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；

（1）求a的值；

（2）求证：

x=1是该函数的一条对称轴；

（3）是否存在实数b，使函数的图象与函数f（x）的图象恰好有两个交点？

若存在，求出b的值；

若不存在，请说明理由.

11.定义在区间（0，）上的函f（x）满足：

（1）f（x）不恒为零；

（2）对任何实数x、q,都有.

（1）求证：

方程f（x）=0有且只有一个实根；

（2）若a>

b>

c>

1,且a、b、c成等差数列，求证：

；

（3）（本小题只理科做）若f（x）单调递增，且m>

n>

0时，有，求证：

12.已知三次函数在y轴上的截距是2，且在上单调递增，在（－1，2）上单调递减.

20070328

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若函数，求的单调区间.

13.已知函数（且）．

（1）试就实数的不同取值，写出该函数的单调递增区间；

（2）已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，求的值并写出函数的解析式；

（3）（理）记

（2）中的函数的图像为曲线，试问是否存在经过原点的直线，使得为曲线的对称轴？

若存在，求出的方程；

若不存在，请说明理由．

（文）记

（2）中的函数的图像为曲线，试问曲线是否为中心对称图形？

若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；

若不是，请说明理由．

14.已知函数和的图象在处的切线互相平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，当时，恒成立，求的取值范围.

15.设函数定义在上，对任意的，恒有，且当时，。

试解决以下问题：

（1）求的值，并判断的单调性；

（2）设集合，若，求实数的取值范围；

（3）若，满足，求证：

16.（理科）二次函数f（x）=

（I）若方程f（x）=0无实数根，求证：

0；

（II）若方程f（x）=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：

f（－a）=；

（III）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得.

（文科）已知函数f（x）=，其中

（I）若b>

2a,且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；

（II）若对任意实数x，不等式恒成立,且存在成立，求c的值。

17.定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：

对任意x、y（-1,1）都有。

（I）求证：

函数f（x）是奇函数；

（II）如果当时，有f（x）>

0，判断f（x）在（-1,1）上的单调性，并加以证明；

（III）设-1<

a<

1，解不等式：

18.已知二次函数设方程f（x）＝x有两个实数根x1、x2.

（Ⅰ）如果，设函数f（x）的对称轴为x＝x0,求证x0>

—1;

（Ⅱ）如果，且f（x）＝x的两实根相差为2，求实数b的取值范围.

19.函数的定义域为R，并满足以下条件：

①对任意，有；

②对任意、，有；

③则

（1）求的值；

（4分）

在R上是单调增函数；

（5分）

（3）若，求证：

20.（理）已知

（1）讨论的单调性；

（2）证明：

其中无理数.

（文）设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为.

（2）若函数的递增区间为，求的取值范围.

21.设函数

（1）求函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极大值和极小值；

（2）当x∈[a+1,a+2]时，不等，求a的取值范围.

22.已知函数，函数.

（1）当时，求函数f（x）的最小值；

（2）设函数h（x）=（1－x）f（x）+16，试根据m的取值分析函数h（x）的图象与函数g（x）的图象交点的个数.

23.已知二次函数为常数）；

.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

（Ⅰ）求a、b、c的值；

（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

（Ⅲ）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？

若存在，求出m的值；

若不存在，说明理由.

24.已知，点A（s,f（s））,B（t,f（t））

（I）若,求函数的单调递增区间；

（II）若函数的导函数满足：

当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；

（III）若0<

b,函数在和处取得极值，且,证明：

与不可能垂直.

25.已知函数

（1）设,当m≥时,求g（x）在[]上的最大值；

（2）若上是单调减函数，求实数m的取值范围.

26.（本小题满分12分）

已知常数a>

0,n为正整数，fn（x）=xn–（x+a）n（x>

0）是关于x的函数.

（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论.

（2）对任意n³

a,证明f`n+1（n+1）<

（n+1）fn`（n）

答案：

1.解：

（1），由题意，

令得的单调递增区间为和.

（2），当变化时，与的变化情况如下表：

-4

（-4，-2）

-2

（-2,2）

2

（2,3）

3

0

单调递增

单调递减

1

所以时，.于是在上恒成立等价于，求得.

2.解：

（1）P（x）=R（x）–C（x）=–10x3+45x2+3240x–5000（xÎ

N且xÎ

[1,20]）;

2分

MP（x）=P（x+1）–P（x）=–30x2+60x+3275（xÎ

[1,20]）.4分

（2）P`（x）=–30x2+90x+3240=–30（x+9）（x–12）（xÎ

[1,20]）7分

当1<

x<

12时,P`（x）>

0,P（x）单调递增,

当12<

x<

20时,P`（x）<

0,P（x）单调递减.

∴x=12时,P（x）取最大值,10分