章末小结.docx

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章末小结

章末小结

（1）归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：

①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．

（2）类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．

　找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．

（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦．

（2）与圆心距离相等的两弦相等．

（3）圆的周长c＝πd（d为直径）．

（4）圆的面积S＝d2.

解析：

圆与球具有下列相似性质．

1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．

2．是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．

与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：

圆

球

（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦

球心与截面圆（非轴截面）圆心的连线垂直于截面

（2）与圆心距离相等的两条弦长相等

与球心距离相等的两个截面圆面积相等

（3）圆的周长c＝πd

球的表面积S＝πd2

（4）圆的面积S＝d2

球的体积V＝d3

由实数构成的集合A满足条件：

若a∈A，a≠1，则∈A，证明：

（1）若2∈A，则集合A必有另外两个元素，并求出这两个元素；

（2）非空集合A中至少有三个不同元素．

分析：

从集合中的元素满足的条件“若a∈A，则∈A（a≠1）”出发；当a＝2时，依次进行检验，即可得证．

证明：

（1）∵a∈A，a≠1，则∈A.

∴2∈A时，有＝－1∈A.

由于－1≠1，有＝∈A.

由于≠1，有＝2∈A.

如此循环可知集合A中的另外两个元素为，－1.

（2）∵集合A非空，故存在a∈A，a≠1，有∈A，

∴∈A且≠1，

即a≠0时，有＝∈A，即如此循环出现三个数a，，∈A.若a＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．

若＝＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．

若a＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．

∴a，，互不相等，故集合A中至少有三个不同元素．

分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：

（1）分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．

（2）确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．

（3）解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．

　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

＋＋≥8.

证明：

方法一　综合法

因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以1＝a＋b≥2，≤，ab≤，所以≥4，

又＋＝（a＋b）＝2＋＋≥4，

所以＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）．

方法二　分析法

因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8.

只要证＋≥8，

只要证＋≥8，

即证＋≥4.

也就是证＋≥4.

即证＋≥2，

由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，

所以原不等式成立．

反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则¬q”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题思想．

一般以下题型用反证法：

①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：

①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．

　已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，证明：

不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.

证明：

假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则·＝－1，

所以（ax1－1）（ax2－1）＝－x1·x2，

即（1＋a2）x1·x2－a（x1＋x2）＋1＝0.

由题意得（1－2a2）x2＋4ax－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1·x2＝.

所以（1＋a2）·－a·＋1＝0，

即a2＝－2，这是不可能的．

所以假设不成立．故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.

数学归纳法的两关关注

（1）关注点一：

用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少．

（2）关注点二：

由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．

　设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*.

（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

（2）当a1≥2时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋1.

解析：

（1）由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3.

由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4.

由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.

由此猜想an的一个通项公式为an＝n＋1（n≥1）．

（2）证明：

①当n＝1时，∵an＝a1≥2，n＋1＝1＋1＝2，∴不等式成立．

②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋1.

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak（ak－k）＋1≥（k＋1）（k＋1－k）＋1＝k＋2.

也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1>（k＋1）＋1.

根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋1.

一、选择题

1．“因为指数函数y＝ax是增函数（大前提），而y＝是指数函数（小前提），所以函数y＝是增函数（结论）”，以上推理的错误的原因是（A）

A．大前提错误导致结论错

B．小前提错误导致结论错

C．推理形式错误导致结论错

D．大前提和小前提错误导致结论错

解析：

推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数；当a＞1时，y＝ax是增函数．故选A.

2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明：

1－＋－＋…＋＝2（＋＋…）时，若已假设n＝k（k≥2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（B）

A．n＝k＋1时等式成立

B．n＝k＋2时等式成立

C．n＝2k＋2时等式成立

D．n＝2（k＋2）时等式成立

解析：

因为n为正偶数，n＝k（k≥2为偶数），所以下一步要证明的命题也应该是在偶数条件下成立，所以，还需要证明n＝k＋2时等式成立，故选B.

3．若m，n是正整数，则m＋n>mn成立的充要条件是（D）

A．m，n都等于1

B．m，n都不等于2

C．m，n都大于1

D．m，n至少有一个等于1

解析：

∵m＋n>mn，∴（m－1）（n－1）<1.

∵m，n∈N*，∴（m－1）（n－1）∈Z，

∴（m－1）（n－1）＝0.

∴m＝1或n＝1，故选D.

4．下列结论正确的是（B）

A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2

B．当x>0时，＋≥2

C．当x≥2时，x＋的最小值为2

D．当0

解析：

A错在lgx的正负不清；C错在等号成立的条件不存在；根据函数f（x）＝x－的单调性，当x＝2时，f

（2）max＝，故D错．故选B.

5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值（D）

A．大于0B．小于0

C．不小于0D．不大于0

解析：

解法一　因为a＋b＋c＝0，

所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，

所以ab＋bc＋ca＝－≤0.

解法二　令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a、b异号，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故选D.

6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为（A）

A．a＝，b＝c＝

B．a＝b＝c＝

C．a＝0，b＝c＝

D．不存在这样的a、b、c

解析：

令n＝1，得1＝3（a－b）＋c，

令n＝2，得1＋2×3＝9（2a－b）＋c，

令n＝3，得1＋2×3＋3×32＝27（3a－b）＋c.

即，∴a＝，b＝c＝.故选A.

7．若凸k边形的内角和为f（k），则凸（k＋1）边形的内角和f（k＋1）（k≥3且k∈N*）等于（B）

A．f（k）＋B．f（k）＋π

C．f（k）＋πD．f（k）＋2π

解析：

由凸k边形到凸（k＋1）边形，增加了一个三角形，故f（k＋1）＝f（k）＋π.故选B.

8．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝（C）

A．18B．24

C．60D．90

解析：

由a＝a3a7得（a1＋3d）2＝（a1＋2d）（a1＋6d），2a1＋3d＝0.再由S8＝8a1＋d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋d＝60，选C.

二、填空题

9．若数列{an}满足：

a1＝1，an＋1＝2an（n∈N*），则a5＝________；前8项的和S8＝________（用数字作答）．

解析：

a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝2a2＝4，a4＝2a3＝8，a5＝2a4＝16，易知S8＝＝255，∴应填255.

答案：

16　255

10．（2014·郑州高二检测）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是________．

解析：

分别观察正方体的个数为：

1，1＋5，1＋5＋9，…

归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，

所以Sn＝n＋[n（n－1）×4]÷2＝2n2－n，

所以S7＝2×72－7＝91.

答案：

91

11．（2014·厦门六中高二期中）在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．

解析：

类比如下：

正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.（这个结论是正确的，证明略）

答案：

S2＝S＋S＋S

12．（2014·洛阳部分重点中学教学检测）观察下列等式：

×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，……，由以上等式推测到一个一般的结论：

对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________．

解析：

由已知中的等式：

×＝1－

×＋×＝1－，

×＋×＋×＝1－，…，

所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－.

答案：

1－

三、解答题

13．证明不等式：

××…×<（n∈N*）．

证明：

（1）当n＝1时，左边＝，右边＝，显然<，不等式成立．

（2）假设n＝k时，不等式成立，

即××…×<，

则n＝k＋1时，××…××<×＝，要证n＝