高三数学专题总复习Word格式.doc

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1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：

数集和点集．

2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．

3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．

4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．

【例题分析】

例1给出下列六个关系：

（1）0∈N*

（2）0{－1，1}（3）∈{0}

（4）{0}（5）{0}∈{0，1}（6）{0}{0}

其中正确的关系是______．

解答：

（2）（4）（6）

【评析】1．熟悉集合的常用符号：

不含任何元素的集合叫做空集，记作；

N表示自然数集；

N＋或N*表示正整数集；

Z表示整数集；

Q表示有理数集；

R表示实数集．

2．明确元素与集合的关系及符号表示：

如果a是集合A的元素，记作：

a∈A；

如果a不是集合A的元素，记作：

aA．

3．明确集合与集合的关系及符号表示：

如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：

AB或BA．

如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．AB或BA．

4．子集的性质：

①任何集合都是它本身的子集：

AA；

②空集是任何集合的子集：

A；

提示：

空集是任何非空集合的真子集．

③传递性：

如果AB，BC，则AC；

如果AB，BC，则AC．

例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件（UA）∩（UB）＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩（UA）＝{4，6，8}．求集合A，B．

解：

根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，

图1－1

于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．

故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．

【评析】1、明确集合之间的运算

对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：

A∩B．

对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：

A∪B．

如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集．记作UA．

2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．

例3设集合M＝{x｜－1≤x＜2}，N＝{x｜x＜a}．若M∩N＝，则实数a的取值范围是______．

答：

（－∞，－1]．

【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．

例4设a，b∈R，集合，则b－a＝______．

【分析】因为，所以a＋b＝0或a＝0（舍去，否则没有意义），

所以，a＋b＝0，＝－1，所以－1∈{1，a＋b，a}，a＝－1，

结合a＋b＝0，b＝1，所以b－a＝2．

练习1－1

一、选择题

1．给出下列关系：

①；

②Q；

③｜－3｜N*；

④．其中正确命题的个数是（）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2．下列各式中，A与B表示同一集合的是（）

（A）A＝{（1，2）}，B＝{（2，1）} （B）A＝{1，2}，B＝{2，1}

（C）A＝{0}，B＝ （D）A＝{y｜y＝x2＋1}，B＝{x｜y＝x2＋1}

3．已知M＝{（x，y）｜x＞0且y＞0}，N＝{（x，y）｜xy＞0}，则M，N的关系是（）

（A）MN （B）NM （C）M＝N （D）M∩N＝

4．已知全集U＝N，集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，则下式中正确的关系是（）

（A）U＝A∪B （B）U＝（UA）∪B （C）U＝A∪（UB） （D）U＝（UA）∪（UB）

二、填空题

5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．

6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．

7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则（UA）∩B＝______.

8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算为：

aiaj＝ak，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2a3＝______；

满足关系式（xx）a2＝a0的x（x∈S）的个数为______．

三、解答题

9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求（A∩B）∪C．

10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，（UA）∩B＝{4，6，8}，（UA）∩（UB）＝{1，9}，求集合A和B．

11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，

①A∩B≠，求实数a的取值范围；

②A∩B≠A，求实数a的取值范围；

③A∩B≠，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．

1－2常用逻辑用语

1．命题是可以判断真假的语句．

2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．

可以利用真值表判断复合命题的真假．

3．命题的四种形式

原命题：

若p则q．逆命题：

若q则p．否命题：

若p，则q．逆否命题：

若q，则p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．

4．充要条件

如果pq，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．

如果pq且qp，即qp则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．

5．全称量词与存在量词

1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．

（1）p：

0∈N，q：

1N；

（2）p：

平行四边形的对角线相等，q：

平行四边形的对角线相互平分．

（1）p∨q：

0∈N，或1N；

p∧q：

0∈N，且1N；

p：

0N．

因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，p为假．

（2）p∨q：

平行四边形的对角线相等或相互平分．

平行四边形的对角线相等且相互平分．

存在平行四边形对角线不相等．

因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，p为真．

【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．

例2分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．

（1）若a2＋b2＝0，则ab＝0；

（2）若A∩B＝A，则AB．

（1）逆命题：

若ab＝0，则a2＋b2＝0；

是假命题．

否命题：

若a2＋b2≠0，则ab≠0；

逆否命题：

若ab≠0，则a2＋b2≠0；

是真命题．

（2）逆命题：

若AB，则A∩B＝A；

若A∩B≠A，则A不是B的真子集；

若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．

评述：

原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；

逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．

例3指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．

（x－2）（x－3）＝0；

q：

x＝2；

a≥2；

a≠0．

【分析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；

若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；

若pq且qp，p与q互为充要条件．

于是可得

（1）中p是q的必要不充分条件；

q是p的充分不必要条件．

（2）中p是q的充分不必要条件；

q是p的必要不充分条件．

【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．

例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的（）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）非充分条件也非必要条件

条件p：

x∈M或x∈N，即为x∈R；

条件q：

x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．

又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分条件，选B．

【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：

设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB且BA，则p是q的充分非必要条件；

若AB且BA，则p是q的必要非充分条件；

若A＝B，则p与q互为充要条件．

例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）

（A）不存在x∈R，x3－x2＋1≤0， （B）存在x∈R，x3－x2＋1≤0

（C）存在x∈R，x3－x2＋1＞0 （D）对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0

【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”

选C．

【评析】注意全（特）称命题的否定是将全称量词改为存在量词（或将存在量词改为全称量词），并把结论否定．

练习1－2

1．下列四个命题中的真命题为（）

（A）x∈Z，1＜4x＜3 （B）x∈Z，3x－1＝0

（C）x∈R，x2－1＝0 （D）x∈R，x2＋2x＋2＞0

2．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么（）

（A）q一定是真命题 （B）q不一定是真命题

（C）p不一定是假命题 （D）p与q的真假相同

3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的（）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：

“若对任意的x∈Ax∈B，则称AB”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为（）

（A）若x∈A但xB，则称A不是B的子集

（B）若x∈A但xB，则称A不是B的子集

（C）若xA但x∈B，则称A不是B的子集