高三导数压轴题题型归纳Word下载.doc
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所以g(x)min=g(t)=et-ln(t+2)=+t=>
当m≤2时,有ln(x+m)≤ln(x+2),
所以f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)=g(x)≥g(x)min>
例2已知函数满足(2012全国新课标)
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值。
(1)
令得:
得:
在上单调递增
得:
的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)得
①当时,在上单调递增
时,与矛盾
②当时,
得:
当时,
令;
则
当时,
当时,的最大值为
例3已知函数,曲线在点处的切线方程为。
(2011全国新课标)
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。
解(Ⅰ)由于直线的斜率为,
且过点,故即 解得,。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
。
考虑函数,则。
(i)设,由知,当时,,h(x)递减。
而故当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)<
0,可得h(x)>
从而当x>
0,且x1时,f(x)-(+)>
0,即f(x)>
+.
(ii)设0<
k<
1.由于=的图像开口向下,且,对称轴x=.当x(1,)时,(k-1)(x2+1)+2x>
0,故(x)>
0,而h
(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>
0,可得h(x)<
0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时,(x)>
0,而h
(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>
0,可得h(x)<
综合得,k的取值范围为(-,0]
例4已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x.(2009宁夏、海南)
(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6.
解:
(1)当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x,故
f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x
=-e-x(x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x.
当x<-3或0<x<3时,f′(x)>0;
当-3<x<0或x>3时,f′(x)<0.
从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少.
(2)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a].
由条件得f′
(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a.
从而f′(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a].因为f′(α)=f′(β)=0,
所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)[x2-(α+β)x+αβ].
将右边展开,与左边比较系数,得α+β=-2,αβ=a-2.
故.又(β-2)(α-2)<0,
即αβ-2(α+β)+4<0.由此可得a<-6.于是β-α>6.
2.在解题中常用的有关结论※
(1)曲线在处的切线的斜率等于,且切线方程为
。
(2)若可导函数在处取得极值,则。
反之,不成立。
(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。
(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:
恒成立(不恒为0).
(5)函数(非常量函数)在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。
(若为二次函数且I=R,则有)。
(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立
(7)若,恒成立,则;
若,恒成立,则
(8)若,使得,则;
若,使得,则.
(9)设与的定义域的交集为D,若D恒成立,则有
.
(10)若对、,恒成立,则.
若对,,使得,则.
若对,,使得,则.
(11)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,
若对,,使得=成立,则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式:
①②
1
x
x
+
≤
③④
⑤⑥
3.题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
(构造函数,最值定位)(分类讨论,区间划分)(极值比较)(零点存在性定理应用)(二阶导转换)
例1(切线)设函数.
(1)当时,求函数在区间上的最小值;
(2)当时,曲线在点处的切线为,与轴交于点求证:
例2(最值问题,两边分求)已知函数.
⑴当时,讨论的单调性;
⑵设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
②交点与根的分布
例3(切线交点)已知函数在点处的切线方程为.
⑴求函数的解析式;
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;
⑶若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
例4(综合应用)已知函数
⑴求f(x)在[0,1]上的极值;
⑵若对任意成立,求实数a的取值范围;
⑶若关于x的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
③不等式证明
例5(变形构造法)已知函数,a为正常数.
⑴若,且a,求函数的单调增区间;
⑵在⑴中当时,函数的图象上任意不同的两点,,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明:
.
⑶若,且对任意的,,都有,求a的取值范围.
例6(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.
(1)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,设函数,若,求证
例7(绝对值处理)已知函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值.
(I)求实数的取值范围;
(II)若方程恰好有两个不同的根,求的解析式;
(III)对于(II)中的函数,对任意,求证:
例8(等价变形)已知函数.
(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数在处取得极值,对,恒成立,
求实数的取值范围;
(Ⅲ)当且时,试比较的大小.
例9(前后问联系法证明不等式)已知,直线与函数的图像都相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1。
(I)求直线的方程及m的值;
(II)若,求函数的最大值。
(III)当时,求证:
例10(整体把握,贯穿全题)已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求在上的最大值;
(3)试证明:
对任意,不等式都成立(其中是自然对数的底数).
(Ⅲ)证明:
例11(数学归纳法)已知函数,当时,函数取得极大值.
(1)求实数的值;
(2)已知结论:
若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:
若,函数,则对任意,都有;
(3)已知正数,满足,求证:
当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有.
④恒成立、存在性问题求参数范围
例12(分离变量)已知函数(a为实常数).
(1)若,求证:
函数在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值;
(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.
例13(先猜后证技巧)已知函数
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域
(Ⅱ)确定函数f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.
(Ⅲ)若x>
0时恒成立,求正整数k的最大值.
例14(创新题型)设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>
0,x2>
0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离;
(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.
例15(图像分析,综合应用)已知函数,在区间上有最大值4,最小值1,设.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)不等式在上恒成立,求实数的范围;
(Ⅲ)方程有三个不同的实数解,求实数的范围.
⑤导数与数列
例16(创新型问题)设函数,,是的一个极大值点.
⑴若,求的取值范围;
⑵当是给定的实常数,设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?
若存在,求所有的及相应的;
若不存在,说明理由.
⑥导数与曲线新题型
例17(形数转换)已知函数,.
(1)若,函数在其定义域是增函数,求b的取值范围;
(2)在
(1)的结论下,设函数的最小值;
(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?
若存在,求出R的横坐标;
若不存在,请说明理由.
例18(全综合应用)已知函数.
(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?
若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由;
(2)定义,其中,求;
(3)在
(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.
⑦导数与三角函数综合
例19(换元替代,消除三角)设函数(),其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数的极大值和极小值;
(Ⅲ)当,时,若不等式对任意的恒成立,求的值。
⑧创新问题积累
例20已知函数.
I、求的极值.
II、求证的图象是中心对称图形.
III、设的定义域为,是否存在.当时,的取值范围是?
若存在,求实数、的值;
若不存在,说明理由
导数压轴题题型归纳参考答案
例1解:
(1)时,,由,解得.
的变化情况如下表:
-
↘
极小值
↗
所以当时,有最小值.
(2)证明:
曲线在点处的切线斜率
曲线在点P处的切线方程为.
令,得,∴
∵,∴,即.
又∵,∴
所以.
例2⑴,
令
①当时,,当,函数单调递减;
当,函数单调递增.
②当时,由,即,解得.
当时,恒成立,此时,函数单