高等数学基础知识点归纳doc.docx

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第一讲函数，极限，连续性

1、集合的概念

i般地我们把研究对象统称为元素，把i些元素组成的总体叫集合（简称集）°集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或口然数集）。

记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。

（3）、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。

（4）、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q，,

（5）、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。

集合的表示方法

⑴、列举法：

把集合的元素一一列举出来，并用“”括起来表示集合

（2）、描述法：

用集合所有元素的共同特征来表示集合

集合间的基本关系

⑴、子集：

-•般地，对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就

说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AUB。

⑵、相等：

如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合巳相等，记作A=B。

⑶、真子集：

如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AcBo

⑷、空集：

我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

（5）、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：

1、任何一个集合是它木身的子集。

2、对于集合A、B.C,如果A是!

3的子集，D是C的子集，则A是C的子集。

3、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算

⑴、并集：

一般地，由所冇属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。

记作AUBo（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

）

R卩AUB=（xlxGA,或x^b}o

⑵、交集：

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。

记作A

ABo

B|JAAB—{xlx^A,且x^b}o

⑶、全集：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。

通常记作U。

⑷、补集：

对于一个集合A,由全集U中不屈于集合A的所有元索组成的集合称为集合A相对于全集U

的补集。

简称为集合A的补集，记作CuA.

即CuA={xlxGu,且X不属于A}。

（5）、运算公式：

交换律：

aub=buaAriB=BnA

结合律：

（AUB）UOAU（BuC）

（AnB）nc=An（Bnc）

分配律：

（AUB）nc=（APC）u（Bnc）

（aab）uc=（Auc）n（buc）

对偶律：

Cu（AUB）=CuAACuB

Cu（AnB）=CuAUCuB

集合中元素的个数

⑴、有限集：

我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

（2）、用card来表示有限集屮元索的个数。

例如A={a.b.c},则card（A）=3o

⑶、一般地，对任意两个集合A、B,有

card（A）+card（B）=card（AUB）+card（AAB）

2、常量与变量

（1）、变量的定义：

我们在观察某一现彖的过程时，常常会遇到各种不同的量，英中冇的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量;有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。

⑵、变量的表示：

如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。

在数轴上来说，区间是指介于某两点Z间的线段上点的全体。

区何的名称

区间的满足的不等式

区间的记号

区何在数轴上的表示

闭区间

aWxWb

[a.b]

[a,b]

*IT

开区间

a

（a»b）

（a,b）

—A!

abX

半开区间

aVxWb或aWxVb

（a>b]或[a,b）

—i1►

aby

%b）

—iA►

abx

以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间

[a,+°°）：

表示不小于d的实数的全体，也可记为：

dWx<+8；

（-8,b）：

表示小于b的实数的全体，也可记为：

-8

（-8,+00）.表示全体实数，也可记为：

-8

注：

•其中和+8,分别读作”负无穷大〃和"正无穷大〃，它们不是数,仅仅是记号。

⑶、邻域：

设a与6是两个实数，K8>0.满足不等式Ix-aI<6的实数X的全体称为点a的6邻域，点a称为此邻域的中心，§称为此邻域的半径。

3、函数

（1）、两数的定义：

如果当变量X在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。

变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。

通常x叫做自变屋，y叫做函数值（或因变ft）,变量y的变化范围叫做这个函数的值域。

注：

为了表明y是x的函数，我们用记号y二f（x）、y=F（x）等等来表示。

这里的字母牛〃表示y与x之间的对应法则即函数关系，它们是可以任意采用不同的字母来表示的。

如果自变最在定义域内任取一个确定的值时，函数只冇一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。

这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：

定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

3、函数的简单性态

⑴、函数的冇界性：

如果对属于某一区间I的所冇x值总冇|f（x）|成立，其中M是一个与x无关

的常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界。

注：

一个函数，如果在其整个定义域内冇界，则称为冇界函数。

函数的冇界性，单调性应与相关点集/联系起來，离开了点集这些概念是没冇任何意义的。

⑵、函数的单调性：

如果函数在定义域区间（a,b）内随着x增大而增大，即：

对于（d,b）内任意两点X】

及炸当x.

如果函数.f（X）在定义域区间（a,b）内随看x增大而减小，即：

对于b）内任意两点xi反畑当x.

（3）、函数的奇偶性

如果函数.f（X）对于定义域内的任意x都满足/（-X）=/（X）,则/（兀）叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足f（~X）=-/（X）,则/（X）叫做奇函数。

注：

偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

奇偶函数的定义域必关于原点对称。

（4）、函数的周期性

设/⑴的定义域为若存在7）0,对任意的XG/,都使得/（x+T）=/（%）（%+TeZ）,贝9称函数/（无）为周期两数，称T为其周期。

注：

我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

周期函数的定义域必是无限的点集，但也不能说是全体实数，如『=tanx的定义域为（-8,+8）。

且

XHkn±n/2（k=0,1,2....）

A.奇函数+奇两数二奇两数B.偶两数+偶两数二偶两数C.奇两数•偶两数二奇两数

D.奇函数•奇两数二偶两数E偶函数•偶函数二偶函数

T

若f（x）以T为最小正周期，则f（a）x）以一（力〉0）为最小止周期

co

4、反函数

⑴、反两数的定义：

若由两数y=/（兀）得到x=（p（y）,则称x=0（y）是歹=/（朗的反函数，y=/（x）

为II接函数，反函数也可记为y=/J（x）

注:

r'[f（x）]=f[f-\x）]=x

⑵、反函数的存在定理：

若在（a,b）上严格増（减），其值域为R,则它的反函数必然在R

上确定，且严格増（减）•

例题：

y=x2,其定义域为（-8,+8）,值域为[0,+oo）.对于y取定的非负值，可求得x=±^[y.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间（-+8）上，函数不是严格増（减），故其没有反函数。

如果我们加上条件，要求xMO,则对yPO、x=就是y=X2在要求xPO时的反函数。

即是：

函数在此要求下严格增（减）•

⑶、反函数的性质：

在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。

例题：

函数y=2X与两数y=log2x互为反两数，则它们的图形在同-•直角坐标系中是关于直线y=x对称的。

如右图所示：

5、复合函数

复合函数的定义：

若y是u的函数：

y=/（w）,而u又是x的函数：

u=（p（x）,且0（兀）的函数

值的全部或部分在/（«）的定义域内，那么，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数y=/（w）及u=0（x）复合而成的函数，简称复合函数，记作

y=f[（p（u）],其中u叫做中间变虽。

注：

并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。

例题：

函数与两数是不能复合成一个函数的因为对于的定义域（-《>,+«>）中的任何x值所对应的u值（都人

于或等于2）,使y=arcsinw都没冇定义。

6、初等函数

⑴、基木初等两数：

我们最常用的有五种基木初等两数.分别是：

指数两数、对数函数、幕函数、三角函数及反三角函数。

下面我们用表格来把它们总结一下：

函

数名称

函数的记号

函数的图形

函数的性质

指数函数

尹=/（a〉0,aH1）

尹二「\\\

*严

/

f

/

/a>l

■

a）:

不论x为何值,y总为正数;

b）:

当x=0时,y=l.

0』

对数函数

y=logax（a>0,a#1）

j

V上

a）:

其图形总位于y轴右侧，并过（1,0）点

b）：

当a>1时,在区间（0,1）的值为负；在区间（-,+8）的值为正；在定义域内单调增.

/=log1.X

a

幕

函

数

»=为任意实数

J

1

yy•Xs

令&=tt/n

a）：

当m为偶数n为奇数时,y是偶函

数；

b）：

当m"都是奇数时,y是奇函数；

c）：

当m奇n偶时,y在（-«*,0）无意

义.

—pi

这里只画出部分函数图形的一部分。

角函数

八血X征弦函数）

这里只写出了正弦函数

•1

■T

y=sinx

■«■■■*VMM•

Z\/

a）:

正弦函数是以2n为周期的周期函数

b）:

正弦函数是奇函数且b"x-1

-Aj

亠

反

角函数

^=arcanx（反正弦函数）

这里只写出了反正弦函数

札

a）:

由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-只/2,k/2]±,并称其为反正弦函数的主值.

⑵、初等函数：

由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.

注：

初等两数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的两数不能称为初等两数，故分段*1数一般不能叫初等两数

7、数列的极限

⑴、数列的极限：

设｛£｝为一数列，如果存在常熟a,对于任意给定的正数£（不论其多么小），总存在正整数N,使得当n〉7V时，不等式I兀一对@都成立，那么就称常数d是数列｛暫｝的极限，或者称数列收敛于

a,记为limxn=a或xTd（moo）

注：

此定义中的正数£只有任意给定，不等式才能表达出与d无限接近的意思。

f