高一数学必修5不等式题型总结Word格式文档下载.doc
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当或即,此时两根分别为，，显然,
∴不等式的解集为
例4解不等式
解因，所以当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为R。
三、按方程的根的大小来分类，即；
例5解不等式
分析：
此不等式可以分解为：
，故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
原不等式可化为：
，令，可得：
，∴当或时，，故原不等式的解集为；
当或时，,可得其解集为；
当或时,,解集为。
例6解不等式，
分析此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.
解原不等式可化为：
，对应方程的两根为
，当时，即，解集为；
当时，即，解集为
一元二次不等式参考例题
（2）
1．
（1）解不等式（）
（2）不等式的解集为，求的值.（）
2．解下列关于的不等式：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
3．
（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（）
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.（）
4．
（1）已知，
①若，求实数的取值范围.；
（）
②若，求实数的取值范围.；
③若为仅含有一个元素的集合，求的值.（）
（2）已知，，求实数的取值范围.
（）
（3）关于的不等式与的解集依次为与，
若，求实数的取值范围.（）
（4）设全集，集合，若，
求实数的取值范围.（）
（5）已知全集，，
若，求实数的取值范围.（）
一元二次不等式及其解法
1．二次函数的图象及性质:
二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是．
2．二次函数的解析式的三种形式：
（一般式）；
（零点式）；
（顶点式）．
3．一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
4．解一元二次不等式的步骤：
（1）将二次项系数化为“+”：
A=>
0（或<
0）（a>
0）；
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况；
（3）写出解集．
5．讨论二次函数在指定区间上的最值问题：
（1）注意对称轴与区间的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：
①对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；
②对称轴在区间之内；
③对称轴在区间右边．
（2）函数在区间上的单调性．要注意系数的符号对抛物线开口的影响．
6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：
①判别式；
②区间端点的函数值的符号；
③对称轴与区间的相对位置．
三、典型例题选讲
题型1：
考查一元二次函数的性质
例1函数是单调函数的充要条件是（）
A．B．C．D．
∵函数的对称轴为，
∴函数）是单调函数，．故选A．
归纳小结：
二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围．
例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析．
∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，∵截轴上的弦长为，
∴过点和，又过点，∴，解之得，
∴．
求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：
一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．
题型2：
简单不等式的求解问题
例3求下列不等式的解集．
（1）；
（2）
解法一：
因为．所以，原不等式的解集是．
解法二：
整理，得．
因为无实数解，所以不等式的解集是．从而，原不等式的解集是．
解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．
例4不等式的解集为，求与的值．
设的两根为、，由韦达定理得：
由题意得∴，，此时满足，．
构造解集为的一元二次不等式：
，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，．
此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．
题型3：
含参不等式的求解问题
例5解关于的不等式．
证：
分以下情况讨论
（1）当时，原不等式变为：
，∴，即不等式的解集为
（2）当时，原不等式变为：
①①当时，①式变为，∴不等式的解为或．即不等式的解集为；
②当时，①式变为．②，∵，
∴当时，，此时②的解为．即不等式的解集为；
当时，，此时②的解为．
当时，，即不等式的解集为．
解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：
分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解．
题型4：
一元二次不等式的应用
例6
（1）已知函数，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
依题意得
所以，选C．
（2）若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围为_______．
函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，
成立，即，，故选A．
解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，
一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．
例7已知函数的最大值为，求的值．
令，，∴，对称轴为，当，即时，，得或（舍去）．当，即时，函数在上单调递增，由，得；
当，即时，函数在上单调递减，由，得（舍去）．
综上可得，的值为或．
令，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间的三种位置关系的讨论就可求得的值．此题中要注意的条件．
例8设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？
有两种情况：
其一是=，此时＜0；
其二是M≠，此时=0或＞0，分三种情况计算a的取值范围．设，有==，当＜0时，－1＜＜2，=；
当=0时，=－1或2；
当=－1时=；
当=2时，=
当＞0时，a＜－1或a＞2．设方程的两根，，且＜，那么M=［，］，M1≤x1＜x2≤4，即解得2＜＜，∴M［1，4］时，的取值范围是（－1，）．
一元二次不等式解法应试能力测试
1．不等式的解集是（）
A．B．C．D．
2．设集合M＝{x|0≤x<
2}，，则有M∩N＝（）
A．{x|0≤x<
1}B．{x|0≤x<
2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}
3．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．－1≤a≤0B．－1≤a<
0C．－1<
a≤0D．－1<
a<
4．不等式的解集为（）
A．{x|－2≤x≤2}B．{x|x≤－2或x≥2}C．{x|－2≤x≤2或x＝6}D．{x|x≥2}
5．已知，，则A∩B的非空真子集个数为（）
A．2B．3C．7D．8
6．已知，，且A∪B＝R，A∩B＝{x|3<
x≤4}，则p、q的值为（）
A．p＝－3，q＝－4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝3，q＝4
7．若关于x的二次不等式的解集是{x|－7<
x<
－1}，则实数m的值是（）
A．1B．2C．3D．4
8．不等式ax<
b与同解，则（）
A．a＝0且b≤0B．b＝0且a>
0C．a＝0且b>
0D．b＝0且a<
1．不等式的解为_______________．
2．使函数有意义的x的取值范围是_______________．
3．已知，，若，则a的取值范围是_______________；
若，则a的取值范围是_______________．
4．关于x的不等式（a＋b>
0）的解集是_______________．
1．为使周长为20cm的长方形面积大于，不大于，它的短边要取多长？
2．解不等式．
3．解关于x的不等式（a>
0）．
4．k为何值时，关于x的不等式对一切实数x恒成立．
参考答案
一、
1．D2．B3．C4．C
5．A提示：
因为A∩B＝{3，4}
6．A提示：
因B＝{x|x<
－1或x>
3}，由已知得A＝{x|－1≤x≤4}∴－1，4是的两根，∴p＝－3，q＝－4．
7．C8．A，提示：
因的解为，只有a＝0且b≤0时，ax<
b解为
二、
1．x<
－5或x>
5提示：
原不等式化为，∴|x|>
5
2．{x|－3<
x≤－1}3．a>
2，1≤a≤2，提示：
∵A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|（x－1）（x－a）≤0}，∵，∴a>
2
4．{x|x<
－b或x>
a}，提示：
原不等式可化为（a－x）（x＋b）<
0，即（x－a）（x＋b）>
0，∵a＋b>
0，∴a>
－b，∴x>
a或x<
－b．
三、
1．设长方形较短边长为xcm，则其邻边长（10－x）cm，显然0<
5，由已知，∴
∴．2．当x≤0时，不等式无解，当x>
0时，不等式化为，即
解得：
3．原不等式化为（ax－2）（x－2）>
0，∵a>
0，∴，当a＝1时，，∴，∴{x|x∈R且x≠2}，当a≠1时：
若a>
1，则，∴，若0<
1，则，∴．
4．∵恒正，∴不等式化为，即恒成立
∴⊿，∴，∴1<
k<
3．
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