递推数列求通项公式的精品习题Word文档下载推荐.doc

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例1:

已知数列满足，，求。

例2:

已知，，求。

（2011，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，（n≥2），则{an}的通项

类型3（其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：

把原递推公式转化为：

，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

已知数列中，，，求.

（2011，重庆,文,14）

在数列中，若，则该数列的通项_______________

（2010.福建.理22.本小题满分14分）

已知数列满足

（I）求数列的通项公式；

（II）若数列{bn}滿足证明：

数列{bn}是等差数列；

（Ⅲ）证明：

类型4（其中p，q均为常数，）。

（或,其中p，q,r均为常数）。

解法：

一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：

再待定系数法解决。

已知数列中，,，求。

（2011，全国I,理,本小题满分12分）

设数列的前项的和，

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，证明：

类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法一（待定系数法）：

先把原递推公式转化为

其中s，t满足

解法二（特征根法）：

对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。

若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；

当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列：

，，求数列的通项公式。

例:

已知数列中，,,，求。

1.已知数列满足

（I）证明：

数列是等比数列；

（II）求数列的通项公式；

（III）若数列满足证明是等差数列

2.已知数列中，,,，求

3.已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：

⑵设数列，求证：

数列是等差数列；

⑶求数列的通项公式及前项和。

类型6递推公式为与的关系式。

（或）

这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。

例：

已知数列前n项和.

（1）求与的关系；

（2）求通项公式.

（2011，陕西,理,本小题满分12分）

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

（2010,江西,文．本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.

类型7

这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。

设数列：

，求.

（2006，山东,文,22,本小题满分14分）

已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…

（Ⅰ）令（Ⅱ）求数列

（Ⅲ）设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？

若存在试求出不存在,则说明理由.

类型8

这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。

已知数列｛｝中，，求数列

（2011，江西,理,21．本小题满分12分）

已知数列

（1）证明

（2）求数列的通项公式an.

（2010,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a1=2，点（an,an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）证明数列｛lg（1+an）｝是等比数列；

（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列｛an｝的通项；

记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1

类型9解法：

这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

已知数列｛an｝满足：

，求数列｛an｝的通项公式。

（2011，江西,理,本大题满分14分）

1.已知数列｛an｝满足：

a1＝，且an＝

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）证明：

对于一切正整数n，不等式a1·

a2·

……an<

2·

n！

2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{}满足时，，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：

5、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．

类型10

如果数列满足下列条件：

已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;

当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。

例1：

已知数列满足性质：

对于且求的通项公式.

例2：

已知数列满足：

对于都有

（1）若求

（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

（2011，重庆,文,,本小题满分12分）

数列记

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和

类型11或

这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。

（I）在数列中，，求

（II）在数列中，，求

类型12归纳猜想法

数学归纳法

（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）求a1，a2；

（Ⅱ）｛an｝的通项公式

类型13双数列型

根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

已知数列中，；

数列中，。

当时，,，求,.

类型14周期型解法：

由递推式计算出前几项，寻找周期。

若数列满足，若，则的值为___________。

（2010，湖南,文，5）

已知数列满足，则= （）

A．0 B． C． D．

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