选修2-2生活中的优化问题举例文档格式.doc

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1．下列不属于优化问题的是（　　）

A．汽油的使用效率何时最高

B．磁盘的最大存储量问题

C．求某长方体容器的容积

D．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

答案：

C

2．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为（　　）

A．32m2 B．14m2

C．16m2 D．18m2

解析：

选C.设矩形的长为xm，则宽为（8－x）m，矩形面积为S＝x（8－x）（x>

0），令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时Smax＝42＝16（m2）．

3．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为（　　）

A.R B.R

C.R D.R

选A.

作轴截面如图所示，设圆柱高为2h，则底面半径为，圆柱体体积为V＝π·

（R2－h2）·

2h＝2πR2h－2πh3.令V′＝2πR2－6πh2＝0，∴h＝R.即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．

4．一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w（v）＝（18≤v≤30），则燃料费最低时的船速v＝________．

w′（v）＝＝>

0，所以w（v）在[18，30]上单调递增，所以当v＝18时，w（v）有最小值．

18

1．解决优化问题的常用方法

解决优化问题的方法很多，如：

判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数的性质及导数法等．不少优化问题，可以化为求函数的最值问题．一般来说，导数方法是解决这类问题的有效工具．

2．解决生活中的优化问题应当注意的问题

（1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．

（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f′（x）＝0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值．

（3）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．

几何中的最值问题

（1）圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最大，它的高h与底面半径R的比应为________．

[解析]　因为S＝2πRh＋2πR2，所以h＝，

所以V（R）＝πR2，

＝（S－2πR2）R＝SR－πR3.

由V′（R）＝S－3πR2＝0，得S＝6πR2，

所以当S＝6πR2时，容积最大，

此时6πR2＝2πRh＋2πR2.

即h∶R＝2∶1.

[答案]　2∶1

（2）请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．

①某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

②某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

[解]　设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）．由已知得，a＝x，h＝＝（30－x），0<

x<

30.

①S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1800，

所以当x＝15时，S取得最大值．

②V＝a2h＝2（－x3＋30x2），V′＝6x（20－x）．

由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝20.

当x∈（0，20）时，V′>

0；

当x∈（20，30）时，V′<

0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.

解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

1．

（1）如图所示，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y＝－x2＋2，x∈[－2，2]的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值．

解：

设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为（0<

t≤2）．由题意得，点Q的坐标为（0，2），直线BC的方程为y＝2.因为y＝－x2＋2，所以y′＝－x，所以y′|x＝t＝－t，

所以直线AB的方程为y－＝－t（x－t），

即y＝－tx＋t2＋2，令y＝0，得x＝，所以A.

令y＝2，得x＝t，所以B，

所以S＝×

×

2×

2＝2t＋，S′＝2－，

令S′＝0，得t＝.故当t＝时，S有最小值为4.

所以梯形ABCD的面积的最小值为4.

（2）从长为32cm，宽为20cm的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？

最大容积是多少？

设剪去的正方形的边长为xcm，则箱子的容积V（x）＝x（32－2x）（20－2x）＝4x3－104x2＋640x，（0<

10）

V′（x）＝12x2－208x＋640

＝4（3x2－52x＋160）

＝4（3x－40）（x－4）．

令V′（x）＝0，得x1＝（舍去），x2＝4.

当0<

4时，V′（x）>

0，

当4<

10时，V′（x）<

所以V（x）在（0，4）内为增函数，

在（4，10）内为减函数．

因此V（x）在（0，10）内有唯一的极大值V（4），且该极大值即为函数V（x）的最大值，其最大值V（4）＝4×

（32－8）×

（20－8）＝1152（cm3）．

故当剪去的正方形边长为4cm时，箱子的容积最大，最大容积为1152cm3.

用料、费用最省问题

如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？

[解]　法一：

设C点距D点xkm（0<

50），则BD＝40km，AC＝（50－x）km，

∴BC＝＝（km）．

又设总的水管费用为y元，

依题意，得y＝3a（50－x）＋5a（0<

50）．

y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30.

当x∈（0，30）时，y′<

当x∈（30，50）时，y′>

∴当x＝30时函数取得最小值，

此时AC＝50－x＝20（km）．

即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．

法二：

设∠BCD＝θ，则BC＝，

CD＝.

∴AC＝50－.

设总的水管费用为f（θ）元，

依题意有f（θ）＝3a（50－）＋5a·

＝150a＋40a·

.

∴f′（θ）＝40a·

＝40a·

令f′（θ）＝0，得cosθ＝.

根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，

此时sinθ＝.∴tanθ＝.

∴AC＝50－＝20（km）．

（1）选取合适的量作为自变量（如法一取C、D之间的距离x为自变量，法二取∠BCD＝θ为自变量），并确定其取值范围．

（2）正确列出函数关系式；

（3）利用导数求最值；

（4）回归到原实际问题．

其中，正确列出函数关系式是解题的关键．

2．

（1）（教材例1变式题）一报刊图文应占Scm2，上、下边各空acm，左右边各空bcm，若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？

设图文所占区域的长为x，则宽为，报刊的面积为y，如图所示．

则y＝（x＋2b）＝2ax＋＋S＋4ab（x>

0），

求导得y′＝2a－.

令y′＝0，解得x＝或x＝－（舍去）．

当x∈，y′<

0，当x∈，y′>

∴当x＝时，y取得最小值．

即报刊长为＋2b，宽为＋2a时，报刊用纸最省．

（2）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x（单位：

元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：

平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）

设楼房每平方米的平均综合费用为f（x）元，则f（x）＝（560＋48x）＋

＝560＋48x＋（x≥10，x∈N*），

f′（x）＝48－，

令f′（x）＝0，得x＝15或x＝－15（舍去），

当x>

15时，f′（x）>

当10≤x<

15时，f′（x）<

因此当x＝15时，f（x）取最小值f（15）＝2000.

故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．

利润最大问题

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3<

6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

[解]　

（1）因为x＝5时，y＝11，

所以＋10＝11，所以a＝2.

（2）由

（1）可知，该商品每日的销售量y＝＋10（x－6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润

f（x）＝（x－3）

＝2＋10（x－3）（x－6）2（3<

6）．

从而f′（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]

＝30（x－4）（x－6）．

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（3，4）

4

（4，6）

f′（x）

＋

－

f（x）

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，最大值为42.

故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

（1）经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．

（2）关于利润问题常用的两个等量关系

①利润＝收入－成本．

②利润＝每件产品的利润×

销售件数．

3．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与年广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝（x≥0），已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件