解决平面向量问题“五技巧”Word格式文档下载.doc

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解：

设为线段的中点，为线段的中点，由条件得，即，所以向量与是相反向量，且共用起点，所以为的中点，所以点的个数是唯一的，选B．

点评：

利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解．

【牛刀小试】

（赣州市2011届高三摸底考试）在长方形中，，，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_________．

（解：

由题意得．因为为的中点，所以，设（），则，

，故所求最小值为．）

二、巧用

例2（2011年高考上海卷·

理11）在正三角形中，是上的一点，，，则_________．

欲求，而、虽然可以利用条件求出，但是显得繁琐；

注意到，，，作垂足为，则可将转化为，可快速获解．

如图，过点作垂足为，则

．

利用结合问题的特征（数量、图形），数形结合，将要求解的目标进行转化，利于沟通条件而快捷获解．

（2011年高考湖南卷·

理14）在边长为1的正三角形中，设，，则_________．

依题意为的中点，，所以

．）

三、巧用平面内三点共线的充要条件

平面内三点共线（）对平面内任意一点，使得（其中，）．

例3（2011届北京市东直门学校第二次月考）已知是平面上不共线的三点，为的外心，为的中点，动点满足

（），则点的轨迹一定过的（）

A．内心B．外心C．重心D．垂心

审视条件向量等式，有，问题即可获解．

因为，，所以三点共线．又为的中点，所以点的轨迹一定过的重心，选C．

利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式的“包装”露出三点共线这个“内核”，问题迎刃而解．

（哈尔滨市2011届高三第二次月考试题）如图，在中，于，为的中点，若，则_________．

因为为的中点，三点共线，所以，．所以，所以）

四、巧用常用结论

（1）三角形四心的向量表示：

在中，角所对的边分别为，①为外心；

②为重心；

③为垂心

；

④为内心．

（2）（简化为）所在的直线一定通过的内心（即为的角平分线）；

（3）所在的直线一定通过的重心；

（4）（简化为，可证得）所在直线一定通过的垂心．

例4（上海市浦东新区2011届高三质量抽测）点在所在平面内，给出下列关系式：

（1）；

（2）；

（3）

（4）．则点依次为的（）

A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心

C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心

根据熟知的结论可排除选项A、B、D，选C．

（1）显然为的重心；

（2）显然为的垂心；

（3）设，，则、都为单位向量且分别与、同向共线．由得，所以，所以是的平分线；

同理由得到是的平分线，所以为的内心．（4）设为的中点，由得，所以，所以是的垂直平分线．同理由得到点在线段的垂直平分线上，所以为的外心．

熟记一些重要而常用的小结论，对解决数学问题是很有益的，或者可以开启解题思路，或者可以直接用于解题赢得考试时间．

（安徽蚌埠二中2011届高三第四次质量检测题）已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（）

A．内心B．垂心C．重心D．外心

由已知得，即

，所以，设的中点为，则，所以，所以，所以动点在的垂直平分线上，所以点的轨迹过的外心，选D．）

五、巧构图形

1．构图求向量夹角的取值范围

例5（2011年高考课标全国卷·

理10）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列命题：

：

：

：

其中真命题是

A．B．C．D．

利用向量的三角形法则分别表示、，固定而让旋转，观察角如何变化结合条件即可确定相应的取值范围．

如图

（1），，，，，当绕着点逆时针旋转时，增大，减小，当时为正三角形，易知．如图

（2），，，，当绕着点逆时针旋转时，增大，增大，易知，，故选A．

向量具有“数”和“形”的双重特征，利用向量的三角形法则和运动思想，研究相应条件下的取值范围，解法新颖独特，直观快捷（只画图让图在大脑中运动并抓临界值即可获解）．

（2011年高考浙江卷·

理14）若平面向量、满足，，且以向量、为邻边的平面四边形的面积为，则向量与的夹角的取值范围为________．

如图，在单位圆中，取半径，设，作交圆于点，取的中点，过点作的平行线交单位圆于点．设，当点在线段（含两个端点）上时满足，且以向量、为邻边的平面四边形的面积为，易知，，所以）

2．求向量的模的最值

例6（2011年高考天津卷·

理14）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为________．

构图时自然是从直角梯形内的向量图形出发，扣住的特点设法用一个向量三角形来描述转化为即，点在上运动时，动点在直线上的投影点到点的距离为2，动点在直线上的投影点到点的距离为3，于是获得构图思路．

作出直角梯形，延长至点使得，过点作．延长至点，使得，过点作，交的延长线于点，如图．由，，易知．延长交于点，延长交于点，则．当点向点靠近时，点向上运动，点向下运动．，，当即时，此时取得最小值，所以的最小值为．

依据的特点及已知条件进行，充分利用平面几何知识巧妙构图，数形结合在运动中探索的最小值．

（2011年高考辽宁卷·

理10）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（）

A．B．C．D．

因为，，均为单位向量，且，所以构造单位圆，如图，使得，，，．又，所以，所以只能在内或者与（或）重合．作，则，．所以当点在线段上时取得最小值，当点远离与单位圆的交点而向点（或点）靠近的过程中增大，特别的当点与点或点重合时（满足），取得最大值，故选B．）

充分挖掘向量的代数运算和几何意义（性质）之间的关系是掌握向量数学本质的关键，相关的平面几何知识是解决平面向量问题的重要辅助工具，数形结合、转化与化归、动静结合（包含简化）等数学思想则为解决平面向量的指路明灯．