苏锡常镇高三数学一模试卷答案Word格式.doc
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（2）求角的大小．
16、如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，
是棱上一点，且∥平面．
（1）求证：
是中点；
（2）若，求证：
17、某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）．设计要求彩门的面积为（单位：
），高为（单位：
）（为常数）．彩门的下底
固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢
支架的长度和记为．
（1）请将表示成关于的函数；
（2）问当为何值最小，并求最小值．
18、在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为
，椭圆的右顶点为.
（1）求该椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：
直线的斜
率之和为定值.
19、已知函数（为正实数，且为常数）.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
20、已知为正整数，数列满足，，设数列满足
.
数列为等比数列；
（2）若数列是等差数列，求实数的值；
（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得
成立，求满足条件的所有整数的值.
2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研
（一）
数学Ⅱ试题2017.3
1、已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的
变换将点变换成.
（1）求矩阵；
（2）求矩阵的另一个特征值.
2、已知圆和圆的极坐标方程分别为.
（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
3、如图，已知正四棱锥中，，点分别在上，且
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求二面角的余弦值.
4、设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.
当为偶数时，；
当为奇数时，；
（2）求证：
对任何正整数，.
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研
（一）
数学参考答案2017.3
一、填空题．
1． 2． 3．4．
5．300 6． 7． 8．
9．10． 11．或
12．13． 14．1
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．
15．解：
（1）（法一）在△中，由余弦定理，
，则，得；
①……2分
，则，得，②……4分
①+②得：
，.……7分
（法二）因为在△中，，
则，……2分
由得：
，，代入上式得：
……4分
.……7分
（2）由正弦定理得， ……10分
又， ……12分
解得，，.……14分
16．
（1）连接，因为∥平面，
平面，平面平面，所以∥.……4分
因为侧面是菱形，，所以是中点，……5分
所以，E是AB中点. ……7分
（2）因为侧面是菱形，所以， ……9分
又，，面，所以面，…12分
P
Q
D
（第18题图）
A
x
O
y
C
B
（第17题图）
H
E
1
（第16题图）
因为平面，所以． ……14分
17．解：
（1）过作于点，则（），，设，
则，，， ……3分
因为S=，则；
……5分
则（）；
……7分
（2），……8分
令，得.……9分……11分
－
＋
减
极小值
增
所以，.……12分
答：
（1）l表示成关于的函数为（）；
（2）当时，l有最小值为.……14分
18．解：
（1）由题所以，.……2分
所以椭圆C的方程为……4分
（2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意；
……5分
当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，……6分
代入得， ……8分
设，，则：
，，， ……9分
所以，， ……11分
又
=1.
所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.……16分
19．解：
（1），.……1分
因在上单调递增，则，恒成立.
令，则，……2分
……４分
因此，，即. ……6分
（2）当时，由
（1）知，当时，单调递增.……7分
又，当，；
当时，.……9分
故不等式恒成立．……10分
若，，
设，令，则.…12分
当时，，单调递减，则，
则，所以当时，单调递减，……14分
则当时，，此时，矛盾.……15分
因此，. ……16分
20．解：
（1）由题意得，因为数列各项均正，
得，所以， ……2分
因此，所以是以为首项公比为2的等比数列. ……4分
（2）由
（1）得，，， ……5分
如果数列是等差数列，则， ……6分
得：
，即，则，
解得，. ……7分
当时，，
，数列是等差数列，符合题意；
……8分
当=12时，，
，，
，数列不是等差数列，=12不符合题意；
……9分
综上，如果数列是等差数列，. ……10分
（3）由
（2）得，对任意的N*，均存在N*，使，
则，所以. ……12分
当，N*，此时，对任意的N*，符合题意；
……14分
当，N*，当时，.不合题意.…15分
综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使.
……16分
（第Ⅱ卷理科附加卷）
（第21—A题图）
21．【选做题】本题包括，，，四小题，每小题10分.
A．（选修4－1 几何证明选讲）.
解：
连结OC，由于l是圆的切线，故，
因为，所以∥，……2分
因为是圆O的直径，，，
所以,
则=.……4分
，，.……7分
由切割线定理知，， ……9分
所以，则.……10分
B．（选修4—2：
矩阵与变换）
设M=，M，M，……3分
解得即M=. ……5分
（2）则令特征多项式， ……8分
解得.矩阵M的另一个特征值为.……10分
C．（选修4—4：
坐标系与参数方程）
（1）圆的直角坐标方程为，① ……3分
由，得， ……4分
，
故圆的直角坐标方程为，②……6分
（2）②-①得经过两圆交点的直线为，……8分
该直线的极坐标方程为.……10分
D．（选修4—5：
不等式选讲）
因为：
……7分
由于，故，
当且仅当时,取到最大值6. ……10分
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.
22．解：
（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面.又，所以.以为坐标原点，，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图：
……1分
则，，，，
N
M
（第22题图）
z
故，，……3分
所以，，
所以与所成角的大小为.……5分
（2），，.
设是平面的一个法向量，则,，
可得令，，，即，……7分
设是平面的一个法向量，则，，
可得令，，，即，…9分
则二面角的余弦值为.……10分
23．证明：
（1）因为.
当n为偶数时，设，，.…1分
当n为奇数时，设，.
当时，，
此时，.……2分
当时，，
此时，.
综上，当n为偶数时，；
当n为奇数时，.……3分
（2）当时，由
（1）得：
=.
故时，命题成立 ……5分
假设时命题成立，即.
当时，由
（1）得：
= ……6分
=
即当时命题成立.
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