等差数列(二)Word下载.docx
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{c+an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·
an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k}
公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*)
{pan+qbn}
公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)
2.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…….
3.下标性质:
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
特别的,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则有am+an=2ap.
思考 等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12=________,a7=________.
答案 a2+a12=a5+a9=26 a7=13
题型一 等差数列的性质及应用
例1
(1)已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.
解
(1)方法一 根据等差数列的通项公式,得
a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d.
由题意知,3a1+15d=1,即a1+5d=.
∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=.
方法二 根据等差数列性质
a2+a10=a4+a8=2a6.
由a2+a6+a10=1,
得3a6=1,解得a6=,
∴a4+a8=2a6=.
(2){an}是公差为正数的等差数列,设公差为d(d>
0),
∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,
∴a2=5,又a1a2a3=80,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16⇒d=3或d=-3(舍去),
∴a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105.
跟踪训练1 在等差数列{an}中:
(1)若a3=5,则a1+2a4=________;
(2)a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列a1+a20等于________.
答案
(1)15
(2)18
解析
(1)a1+2a4=a1+(a3+a5)=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3=15.
(2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78⇒(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54⇒a1+a20
=18.
题型二 等差数列项的设法及运算
例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
解 设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则
又因为是递增数列,所以d>
0,
所以解得a=±
,d=,
此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
解 方法一 设这三个数为a,b,c,则由题意得
解得a=4,b=6,c=8.
这三个数为4,6,8.
方法二 设这三个数为a-d,a,a+d,由已知可得
由①得a=6,代入②得d=±
2,
∵该数列是递增的,∴d=-2舍去,∴这三个数为4,6,8.
题型三 等差数列的综合问题
例3 已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:
数列{bn}是等差数列,并写出{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项.
解
(1)因为an=2-(n≥2,n∈N*),
所以an-1=,
所以==1+,
即-=1.
因为bn=,所以bn-bn-1=1(n≥2,n∈N*).
又a1=,b1==-,
所以数列{bn}是以b1=-为首项,1为公差的等差数列.
故bn=-+(n-1)×
1=n-(n∈N*).
(2)由
(1)得an=+1=1+,当n≥3时,数列{an}是递减数列,且an>
1.
又a1=,a2=-2,a3=,所以在数列{an}中,最大项为a3=,最小项为a2=-2.
跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( )
A.d<
0 B.d>
C.a1d<
0 D.a1d>
答案 C
解析 设bn=,则bn+1=,由于{}是递减数列,则bn>
bn+1,即>
.∵y=2x是单调增函数,∴a1an>
a1an+1,∴a1an-a1(an+d)>
0,∴a1(an-an-d)>
0,即a1(-d)>
0,∴a1d<
0.
题型四 等差数列的实际应用
例4 某公司2009年经销一种数码产品,获利200万元,从2010年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
解 记2009年为第一年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,则每年获利构成等差数列{an},且当an<
0时,该公司经销此产品将亏损.
设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d=220-20n.
由题意知数列{an}为递减数列,令an<
0,即an=220-20n<
0,得n>
11,
即从第12年起,也就是从2020年开始,该公司经销此产品将亏损.
跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )
A.1升B.升C.升D.升
答案 B
解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an},其首项为a1,公差为d,
由条件得,即,
解得,所以a5=a1+4d=.
审题不仔细致误
例5 首项为-24的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d的取值范围为________.
错解 方法一 由a10>
0得-24+9d>
0,∴d>
.
方法二 由得,
∴<
d<
3.
答案 <
3
错因分析 解答本题,应注意理解“从第10项开始为正数”的含义,它表明“a10>
0”的同时还表明“a9≤0”这一条件.
正解 依题意得即
d≤3.
d≤3
误区警示 解答此类问题,应注意仔细审题,认真挖掘题目中的隐含条件,并注意应用.
1.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7等于( )
A.5B.8C.10D.14
2.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为( )
A.4B.6C.8D.10
3.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>
0 B.a2+a101<
C.a3+a99=0 D.a51=51
4.下列是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:
数列{an}是递增数列;
p2:
数列{nan}是递增数列;
p3:
数列是递增数列;
p4:
数列{an+3nd}是递增数列;
其中的真命题为( )
A.p1,p2 B.p3,p4
C.p2,p3 D.p1,p4
5.在等差数列{an}中,已知a1+2a8+a15=96,则2a9-a10=________.
一、选择题
1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于( )
A.0B.37C.100D.-37
2.等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于( )
A.45B.75C.180D.300
3.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是( )
A.-2B.-C.2D.
4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是( )
A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列
5.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )
A.B.±
C.-D.-
6.在数列{an}中,a3=2,a7=1,如果数列{}是等差数列,那么a11等于( )
A.B.C.D.1
二、填空题
7.在公差为2的等差数列{an}中,a3=12,则a8=______.
8.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.
9.数列{an}满足递推关系an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),a1=5,则使得数列{}为等差数列的实数m的值为________.
10.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
第2行
4
6
第3行
9
那么位于表中的第n行第(n+1)列的数是________.
三、解答题
11.已知数列{an}中,a1=4.
(1)若an=an+1+3,求a10.
(2)若数列{}为等差数列,且a6=,求数列{an}的通项公式.
12.下表给出一个“等差数阵”
7
a1j
12
a2j
ai1
ai2
aij
其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数.
(1)写出a45的值;
(2)写出aij的计算公式.
13.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.