第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)Word下载.doc

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3．函数y＝3x－x3的单调递增区间是（　　）

A．（0，＋∞） B．（－∞，－1）

C．（－1,1） D．（1，＋∞）

f′（x）＝3－3x2>

0⇒x∈（－1,1）．

4．某汽车启动阶段的路程函数为s（t）＝2t3－5t2＋2，则t＝2秒时，汽车的加速度是（　　）

A．14 B．4

C．10 D．6

依题意v（t）＝s′（t）＝6t2－10t，

所以a（t）＝v′（t）＝12t－10，故汽车在t＝2秒时的加速度为a

（2）＝24－10＝14.

A

5．若曲线f（x）＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为（　　）

A．－2 B．－1

f′（x）＝xcosx＋sinx，f′（）＝1，

∴k＝－＝－1，a＝2.

D

6．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（　　）

A．1 B．3

C．－4 D．－8

如图所示，由已知可设P（4，y1），Q（－2，y2），

∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，

∴

∴P（4,8），Q（－2,2）．

又∵抛物线可化为y＝x2，∴y′＝x.

∴过点P的切线斜率为y′|x＝4＝4，

∴过点P的切线为y－8＝4（x－4），即y＝4x－8.

又∵过点Q的切线斜率为y′|x＝－2＝－2.

∴过点Q的切线为y－2＝－2（x＋2），即y＝－2x－2.

联立解得x＝1，y＝－4.

∴点A的纵坐标为－4.

7．若函数y＝a（x3－x）的递增区间是（－∞，－），（，＋∞），则a的取值范围是（　　）

A．a>

0 B．－1<

a<

C．a>

1 D．0<

1

依题意y′＝a（3x2－1）>

0的解集为（－∞，－），（，＋∞），故a>

0.

8．对任意的x∈R，函数f（x）＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是（　　）

A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7

C．a<

0或a>

21 D．a＝0或a＝21

f′（x）＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）不存在极值点．故选A.

9．已知函数f（x）＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（　　）

A．0 B．10

C．18 D．20

f′（x）＝3x2－3，令f′（x）＝0，解得x＝±

1，所以1，－1为函数f（x）的极值点，因为f（－3）＝－18，f（－1）＝2，f

（1）＝－2，f

（2）＝2，所以在区间[－3,2]上，f（x）max＝2，f（x）min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f（x1）－f（x2）|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.

10．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）

A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）

B．－x0是f（－x）的极小值点

C．－x0是－f（x）的极小值点

D．－x0是－f（－x）的极小值点

取函数f（x）＝x3－x，则x＝－为f（x）的极大值点，但f（3）>

f（－），∴排除A.取函数f（x）＝－（x－1）2，则x＝1是f（x）的极大值点，f（－x）＝－（x＋1）2，－1不是f（－x）的极小值点，∴排除B；

－f（x）＝（x－1）2，－1不是－f（x）的极小值点，∴排除C.故选D.

11．若函数y＝f（x）满足xf′（x）>

－f（x）在R上恒成立，且a>

b，则（　　）

A．af（b）>

bf（a） B．af（a）>

bf（b）

C．af（a）<

bf（b） D．af（b）<

bf（a）

设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）＋f（x）>

0，

∴g（x）在R上是增函数，

又a>

b，∴g（a）>

g（b）即af（a）>

bf（b）．

12．设函数f（x）满足x2f′（x）＋2xf（x）＝，f

（2）＝，则x>

0时，f（x）（　　）

A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值

D．既无极大值也无极小值

由题意知f′（x）＝－＝.令g（x）＝ex－2x2f（x），则g′（x）＝ex－2x2f′（x）－4xf（x）＝ex－2（x2f′（x）＋2xf（x））＝ex－＝ex.由g′（x）＝0得x＝2，当x＝2时，g（x）min＝e2－2×

22×

＝0，即g（x）≥0，则当x>

0时，f′（x）＝≥0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增，既无极大值也无极小值．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标为－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．

∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.

又P（－2,6＋c），∴＝－5.

∴c＝4.

4

14．如果函数f（x）＝x3－6bx＋3b在区间（0,1）内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是________．

存在与x轴平行的切线，即f′（x）＝3x2－6b＝0有解，∵x∈（0,1），∴b＝∈（0，）．

{b|0<

b<

}

15．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________．

设f（x）＝4x3＋4x2＋1，则f′（x）＝12x2＋8x＝4x（3x＋2），令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝－.又f（－1）＝1,f（－）＝，f（0）＝1，f

（1）＝9，故f（x）在[－1,1]上的最小值为1，故a≤1.

（－∞，1]

16．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的导数为f′（x），f′（0）>

0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是________．

二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的导数为f′（x）＝2ax＋b，由f′（0）>

0，得b>

又对∀x∈R，恒有f（x）≥0，则a>

且Δ＝b2－4ac≤0，故c>

所以＝＝＋＋1

≥2＋1≥2＋1＝2，

所以的最小值为2.

2

三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）

17．（10分）已知函数f（x）＝ln（2x＋a）＋x2，且f′（0）＝.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求曲线f（x）在x＝－1处的切线方程．

解：

（1）∵f（x）＝ln（2x＋a）＋x2，

∴f′（x）＝·

（2x＋a）′＋2x＝＋2x.

又∵f′（0）＝，∴＝，解得a＝3.

故f（x）＝ln（2x＋3）＋x2.

（2）由

（1）知f′（x）＝＋2x＝，

且f（－1）＝ln（－2＋3）＋（－1）2＝1，

f′（－1）＝＝0，

因此曲线f（x）在（－1,1）处的切线方程是y－1＝0（x＋1），即y＝1.

18．（12分）已知函数f（x）＝x3＋ax＋b（a，b∈R）在x＝2处取得极小值－.

（1）求函数f（x）的增区间；

（2）若f（x）≤m2＋m＋对x∈[－4,3]恒成立，求实数m的取值范围．

（1）由已知得f

（2）＝－，f′

（2）＝0，又f′（x）＝x2＋a，所以＋2a＋b＝－，4＋a＝0，所以a＝－4，b＝4，则f（x）＝x3－4x＋4，令f′（x）＝x2－4>

0，得x<

－2或x>

2，所以增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）．

（2）f（－4）＝－，f（－2）＝，f

（2）＝－，f（3）＝1，则当x∈[－4,3]时，f（x）的最大值为，故要使f（x）≤m2＋m＋对∈[－4,3]恒成立，只要≤m2＋m＋，

所以实数m的取值范围是m≥2或m≤－3.

19．（12分）已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

（1）f′（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.

由已知得f（0）＝4，f′（0）＝4，故b＝4，a＋b－4＝4，所以a＝4，b＝4.

（2）由

（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，

f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）（ex－）．

令f′（x）＝0，得x＝－ln2或x＝－2.

从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln2，＋∞）时，f′（x）>

0；

当x∈（－2，－ln2）时，f′（x）<

故f（x）在（－∞，－2），（－ln2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ln2）上单调递减．

当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，

极大值为f（－2）＝4（1－e－2）．

20．（12分）已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R）．

（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程．

（2）求函数f（x）的极值．

函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－.

（1）当a＝2时，f（x）＝x－2lnx，f′（x）＝1－（x>

0），

所以f

（1）＝1，f′

（1）＝－1，所以y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.

（2）由f′（x）＝1－＝，x>

0可知：

①当a≤0时，f′（x）>

0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

②当a>

0时，由f′（x）＝0，解得x＝a；

因为x∈（0，a）时，f′（x）<

0，x∈（a，＋∞）时，f′（x）>

所以f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－alna，无极大值．综上：

当a≤0时，函数f（x）无极值，当a>

0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．

21.（12分）某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品日供应量p万千克，日需量q万千克近似地满足关系：

p＝2（x＋4t－14）（t>

0），q＝24＋8ln.当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格．

（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；

（2）为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？

（1）由p＝q得2（x＋4t－14）

＝24＋8ln（16≤x≤24，t>

即t＝－x＋ln（16≤x≤24）．

∵t′＝－－<

0，∴t是x的减函数．

∴tmin＝－×

24＋ln＝＋ln＝＋ln；

tmax＝－×

16＋ln＝＋ln，

∴值域为.

（2）由

（1）知t＝－x＋ln