直接、间接证明与数学归纳法Word下载.doc
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当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时,常常采用综合法证明.在解决问题时,常常把分析法和综合法结合起来使用。
教学重点
反证法解题的实质是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确。
在否定结论时,其反面要找对、找全.
教学
难点
它适合证明“存在性问题、唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
教学过程
直接证明与间接证明
知识要点梳理
直接证明
1、综合法
(1)定义:
一般地,从命题的已知条件出发,利用公理、已知的定义及定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
(2)综合法的的基本思路:
执因索果
综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发,通过推导得出结论.
(3)综合法的思维框图:
用表示已知条件,为定义、定理、公理等,表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
(已知)(逐步推导结论成立的必要条件)(结论)
2、分析法
(1)定义:
一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等),或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法.
(2)分析法的基本思路:
执果索因
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发,分析使之成立的条件,即寻求使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
(3)分析法的思维框图:
用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等,所要证明的结论,则用分析法证明可用框图表示为:
(结论)(逐步寻找使结论成立的充分条件)(已知)
(4)分析法的格式:
要证……,只需证……,只需证……,因为……成立,所以原不等式得证。
间接证明
反证法
一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
(2)反证法的特点:
反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定是正确的.
(3)反证法的基本思路:
“假设——矛盾——肯定”
①分清命题的条件和结论.
②做出与命题结论相矛盾的假设.
③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.
④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明原命
题为真.
(4)用反证法证明命题“若则”,它的全部过程和逻辑根据可以表示为:
(5)反证法的优点:
对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.
数学归纳法
1.证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下:
(1)证明当取第一个值时结论正确;
(2)假设当=(∈,≥)时结论正确,证明当=+1时结论也正确.
完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开始的所有正整数都正确.
这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:
两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
规律方法指导
1.用反证法证明数学命题的一般步骤:
①反设——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;
②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
经典例题透析
类型一:
综合法
1.如图,设在四面体中,,,是的中点.
求证:
垂直于所在的平面.
解析:
连、
因为是斜边上的中线,所以
又因为,而是、、的公共边,
所以
于是,
而,因此
∴,
由此可知垂直于所在的平面.
【变式1】求证:
.
由此可联想到公式,转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.
∵,
∴左边
∴.
类型二:
分析法
2.求证:
法一:
要证成立,
只需证明,
两边平方得,
所以只需证明,
即,
∵恒成立,
∴原不等式得证.
法二:
∵,,
,
∴.
【变式1】求证:
【答案】∵、、均为正数
∴要证成立,只需证明,
两边展开得即,
所以只需证明即,
∵恒成立,∴成立.
类型三:
3.设二次函数中的、、均为奇数,
求证:
方程无整数根.
证明:
假设方程有整数根,则成立,
所以.
因为为奇数,所以也为奇数,且与都必须为奇数.
因为已知、为奇数,又为奇数,
所以为偶数,这与为奇数矛盾,
所以假设不成立,原命题成立.
【变式1】若都为实数,且,,,
求证:
中至少有一个大于0.
【答案】假设都不大于0,则,,,
所以
又
.
因为,,,,
所以,
所以,这与矛盾,
所以假设不成立,原命题成立.
类型四:
例1.用数学归纳法证明
().
变式训练1.用数学归纳法证明:
1+3+5+…+(2n-1)=.
点评:
利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时,要注意三句话:
递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。
例2.已知数列根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明。
基础达标练习:
1.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时命题成立,则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确
2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于( )
A.1 B.2C.3 D.0
3.用数学归纳法证明++…+>
-.
假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是________.
1.要证明可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()
A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法
2.设,,则的大小关系是()
A. B. C. D.
3.已知函数,,则是大小关系为()
A. B. C. D.
4.至少有一个负实根的充要条件是()
A. B. C. D.或
5.如果都是正数,且,求证:
.
6.已知都是正数,,且,求证:
7.用反证法证明:
如果,那么.
能力提升:
1.用数学归纳法证明1+++…+<
n(n∈N*,n>
1)时,第一步应验证不等式( )
A.1+<
2 B.1++<
2C.1++<
3 D.1+++<
3
2.(2011江西)观察下列各式:
55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )
A.3125B.5625C.0625 D.8125
3.利用数学归纳法证明+++…+<
1(n∈N*,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是( )
A.增加了这一项B.增加了和两项
C.增加了和两项,同时减少了这一项D.以上都不对
4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( )
A.假使n=2k+1时正确,再推n=2k+3正确
B.假使n=2k-1时正确,再推n=2k+1正确
C.假使n=k时正确,再推n=k+1正确
D.假使n≤k(k≥1),再推n=k+2时正确(以上k∈N*)
5.分析下述证明2+4+…+2n=n2+n+1(n∈N*)的过程中的错误:
________________.
证明:
假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即2+4+…+2k=k2+k+1,那么2+4+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,即当n=k+1时等式也成立.因此对于任何n∈N*等式都成立.
6.用数学归纳法证明:
当n≥2,n∈N*时,(1-)(1-)(1-)…(1-)=.
7.求证:
++…+>
(n≥2,n∈N*).
8.已知a,b是正实数,求证:
综合探究:
9.求证:
正弦函数没有比小的正周期.
课
后
记
本节课教学计划完成情况:
照常完成□提前完成□延后完成□
学生的接受程度:
完全能接受□部分能接受□不能接受□
学生的课堂表现:
很积极□比较积极□一般□不积极□
学生上次的作业完成情况:
数量%完成质量分存在问题
备注
班主任签字
家长或学生签字
教研主任审批
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