江苏省高考数学试题第18题引发的几点猜想与探究Word文件下载.doc
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(II)当时,求点到直线的距离;
(III)对任意的,求证:
.
第一次看到结论(III)时,心里不由的一惊:
怎么椭圆中也有互相垂直的弦,而且其中一条还是过对称中心的?
与圆中“直径对应的圆周角是直角”这个性质类似.这是巧合吗?
2椭圆方程的一般化及双曲线中的推广
性质1如图,在平面直角坐标系中,椭圆,过坐标原点的直线交椭圆于两点,当直线的斜率存在且不为0时,过作轴的垂线,垂足为.连接,并延长交椭圆于点,则有.
证明设.设点的坐标为,点的坐标为,则点及点的坐标分别为、,所以直线的方程为.
联立方程组,得,
所以.因为
所以,因此性质1成立.
从上面的证明过程中,还可以得到另外一个结论:
这个结论与圆中的结论更相似,但是点是通过垂足确定的,不像圆中随意的不在直径上的任一点.
性质2如图,在平面直角坐标系中,椭圆,过坐标原点的直线交椭圆于两点,当直线的斜率存在且不为0时,过作轴的垂线,垂足为.连接,并延长交椭圆于点,则有,.
性质2及下面性质3的证明类似性质1的证明.
性质3如下图,在平面直角坐标系中,双曲线,过坐标原点的直线交双曲线于两点,当直线的斜率不为0时,
(1)过作轴的垂线,垂足为.连接,交双曲线于点,则有,;
(2)过作轴的垂线,垂足为.连接,交双曲线于点,则有,.
3点的释放导致的更一般结论的出现
观察上面的性质1、2,发现结论在两种情况下都成立,因此不由得思考这个结论是否具有一般性,借助几何画板,验证了这个猜想是成立的,因此有下面的结论.
性质5如图,在平面直角坐标系中,椭圆,过坐标原点的直线交椭圆于两点,设点是椭圆上除点外的任意一点,则.
证明设点的坐标为,点的坐标为,则
因为,,所以
因为,,相减得,即.
因此成立.
同样上面的结论在性质3的结论中也有体现,因此不难得到下面的性质6,同时证明也和性质5类似.
性质6如图,在平面直角坐标系中,双曲线,过坐标原点的直线交双曲线于两点,设点是双曲线上除点外的任意一点,则.
当性质5、6放到圆中时,就是性质“直径对应的圆周角是直角”,即,也就是椭圆中时的特殊情况,这个结论也从一个侧面说明了圆锥曲线与圆有着密切的联系.
性质1-4还只是对原题结论进行简单的推广,虽然得到了一些结论,但是条件要求过多,图像不自然,结论不够完美、简洁;
性质5、6则弥补了这方面的不足,结论简洁,大方,更具有使用的一般性.
4更一般结论中条件的等价性
考虑到圆中性质“直径对应的圆周角是直角”的逆命题是真命题,那么性质5、6的逆命题是否也是真命题?
如果是,那么两个条件就是等价的.
性质7如图,在平面直角坐标系中,椭圆,设点是椭圆上除点外的任意一点,则两点关于原点对称的充要条件是.
证明下面只需要证明必要性即可.
设直线、的斜率分别为、,点的坐标为,点的坐标为,则,直线、的方程分别为.
由得,
所以,故.
同理可得,因为,所以,所以.
同理可得,因此两点关于原点对称,即必要性得证.
性质8如图,在平面直角坐标系中,双曲线,设点是双曲线上除点外的任意一点,则两点关于原点对称的充要条件是.
证明也和性质7类似.