江苏省南京市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)Word文档下载推荐.doc
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二、解答题(共6题,90分)
15.已知=2.
(1)求tanα;
(2)求cos(﹣α)•cos(﹣π+α)的值.
16.已知向量=(﹣2,1),=(3,﹣4).
(1)求(+)•(2﹣)的值;
(2)求向量与+的夹角.
17.如图,在一张长为2a米,宽为a米(a>2)的矩形铁皮的四个角上,各剪去一个边长是x米(0<x≤1)的小正方形,折成一个无盖的长方体铁盒,设V(x)表示铁盒的容积.
(1)试写出V(x)的解析式;
(2)记y=,当x为何值时,y最小?
并求出最小值.
18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的最下正周期为π,且点P(,2)是该函数图象的一个人最高点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若x∈[﹣,0],求函数y=f(x)的值域;
(3)把函数y=f(x)的图线向右平移θ(0<θ<)个单位,得到函数y=g(x)在[0,]上是单调增函数,求θ的取值范围.
19.如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°
.
(1)求||;
(2)已知点D是AB上一点,满足=λ,点E是边CB上一点,满足=λ.
①当λ=时,求•;
②是否存在非零实数λ,使得⊥?
若存在,求出的λ值;
若不存在,请说明理由.
20.已知函数f(x)=x﹣a,g(x)=a|x|,a∈R.
(1)设F(x)=f(x)﹣g(x).
①若a=,求函数y=F(x)的零点;
②若函数y=F(x)存在零点,求a的取值范围.
(2)设h(x)=f(x)+g(x),x∈[﹣2,2],若对任意x1,x2∈[﹣2,2],|h(x1)﹣h(x2)|≤6恒成立,试求a的取值范围.
参考答案与试题解析
1.若集合A={﹣1,0,1,2},B={x|x+1>0},则A∩B= {0,1,2} .
【考点】交集及其运算.
【分析】先分别求出集合A,B,由此利用交集定义能求出A∩B.
【解答】解:
∵集合A={﹣1,0,1,2},
B={x|x+1>0}={x|x>﹣1},
∴A∩B={0,1,2}.
故答案为:
{0,1,2}.
2.函数f(x)=log2(1﹣x)的定义域为 {x|x<1} .
【考点】对数函数的定义域.
【分析】要使函数f(x)=log2(1﹣x)有意义,只需对数的真数大于0,建立不等式解之即可,注意定义域的表示形式.
要使函数f(x)=log2(1﹣x)有意义
则1﹣x>0即x<1
∴函数f(x)=log2(1﹣x)的定义域为{x|x<1}
{x|x<1}
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】利用利用函数y=Asin(ωx+φ)的周期为,得出结论.
函数f(x)=3sin(3x+)的最小正周期为,
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】先求出角α的终边上的点P(﹣5,12)到原点的距离为r,再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果.
角α的终边上的点P(﹣5,12)到原点的距离为r=13,
由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣.
故答案为﹣.
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】根据幂函数y=xa的图象过点(4,2),代入数据求出a的值.
幂函数y=xa(a∈R)的图象经过点(4,2),
所以4a=2,
解得a=.
6.若扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为 9 cm2.
【考点】扇形面积公式.
【分析】由题意求出扇形的半径,然后求出扇形的面积.
因为:
扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度,
所以:
圆的半径为:
3,
扇形的面积为:
6×
3=9.
9.
7.设,是不共线向量,﹣4与k+共线,则实数k的值为 ﹣ .
【考点】平行向量与共线向量.
【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线,则存在实数λ,使得满足共线的充要条件,让它们的对应项的系数相等,得到关于K和λ的方程,解方程即可.
∵e1﹣4e2与ke1+e2共线,
∴,
∴λk=1,λ=﹣4,
8.定义在区间[0,5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为 5 .
【考点】正弦函数的图象;
余弦函数的图象.
【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0,2π]上的图象,即可得出结论.
画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0,2π]上的图象如图实数:
由图可知,在一个周期内,两函数图象在[0,π]上有1个交点,在(π,2π]上有1个交点,
所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0,5π]上图象共有5个交点.
5.
9.若a=log32,b=20.3,c=log2,则a,b,c的大小关系用“<”表示为 c<a<b .
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
∵a=log32∈(0,1),b=20.3>1,c=log2<0,
∴c<a<b.
c<a<b.
10.函数f(x)=2x+a•2﹣x是偶函数,则a的值为 1 _.
【考点】函数奇偶性的判断.
【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可.
∵f(x)=2x+a•2﹣x是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
即f(﹣x)=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x,
则(2﹣x﹣2x)=a(2﹣x﹣2x),
即a=1,
1
11.如图,点E是正方形ABCD的边CD的中点,若•=﹣2,则•的值为 3
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】建立直角坐标系,设出正方形的边长,利用向量的数量积求出边长,然后求解数量积的值.
以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,设正方形的边长为2a,
则:
E(a,2a),B(2a,0),D(0,2a)
可得:
=(a,2a),=(2a,﹣2a).
若•=﹣2,可得2a2﹣4a2=﹣2,解得a=1,
=(﹣1,2),=(1,2),
则•的值:
﹣1+4=3.
3.
12.已知函数f(x)对任意实数x∈R,f(x+2)=f(x)恒成立,且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=2x+a,若点P是该函数图象上一点,则实数a的值为 2 .
【考点】抽象函数及其应用;
函数的图象.
【分析】求出函数的周期,然后利用点的坐标满足函数的解析式,推出结果即可.
函数f(x)对任意实数x∈R,f(x+2)=f(x)恒成立,可得函数的周期为:
2,
f=f
(1).且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=2x+a,
点P是该函数图象上一点,
可得21+a=8,解得a=2.
2.
13.设函数f(x)=﹣3x2+2,则使得f
(1)>f(log3x)成立的x取值范围为 0<x<3或x>3 .
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】由题意,f(﹣x)=f(x),函数是偶函数,x>0递减,f
(1)>f(log3x),1<|log3x|,即可得出结论.
由题意,f(﹣x)=f(x),函数是偶函数,x>0递减
∵f
(1)>f(log3x)
∴1<|log3x|,
∴0<x<3或x>3,
∴使得f
(1)>f(log3x)成立的x取值范围为0<x<3或x>3,
故答案为0<x<3或x>3.
14.已知函数f(x)=,其中m>0,若对任意实数x,都有f(x)<f(x+1)成立,则实数m的取值范围为 (0,) .
【考点】分段函数的应用.
【分析】由f(x)的解析式,可得f(x+1)的解析式,画出f(x)的图象,向左平移一个单位可得f(x+1)的图象,由x≤﹣m,f(x)的图象与x≥m﹣1的图象重合,可得m的一个值,进而通过图象可得m的范围.
由函数f(x)=,其中m>0,
可得f(x+1)=,
作出y=f(x)的简图,向左平移1个单位,可得y=f(x+1),
由对任意实数x,都有f(x)<f(x+1)成立,
只要f(x)的图象恒在f(x+1)的图象上,
由x≤﹣m,f(x)的图象与x≥m﹣1的图象重合,可得
2m=1﹣2m,解得m=,
通过图象平移,可得m的范围为0<m<.
(0,).
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】
(1)直接利用同角三角函数的基本关系,求得tanα的值.
(2)利用同角三角函数的基本关系、诱导公式,求得要求式子的值.
(1)∵已知=2=,∴tanα=5.
(2)cos(﹣α)•cos(﹣π+α)=sinα•(﹣cosα)===﹣.
【考点】平面向量数量积的运算;
数量积表示两个向量的夹角.
(1)利用向量的坐标求解所求向量的坐标,利用数量积运算法则求解即可.
(2)利用数量积求解向量的夹角即可.
(1)向量=(﹣2,1),=(3,﹣4).
(+)=(1,﹣3),(2﹣)=(﹣7,6).
所以(+)•(2﹣)=﹣7﹣18=﹣25.
(2)+=(1,﹣3),
cos<,+>===﹣.
向量与+的夹角为135°
(2)记