江苏省南京市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题Word文档格式.doc
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F
(第9题)
8.将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,所得图象的函数解析式是▲.
9.如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=2,
且=,=,则·
=▲.
10.已知函数f(x)=-log2x的零点为x0,若x0Î
(k,k+1),其中k为整数,则k=▲.
11.已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数,则f[f()]=▲.
12.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+¥
)上是单调增函数,且f(lgx)<f
(1),则x的取值范围是▲.
13.若函数f(x)=m·
4x-3×
2x+1-2的图象与x轴有交点,则实数m的取值范围是▲.
14.若函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0))在区间[0,2p]上取得最大值1和最小值-1的x的值均唯一,则ω的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共58分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分8分)已知sinx=,其中0≤x≤.
(1)求cosx的值;
(2)求的值.
16.(本小题满分10分)已知向量a=(2,-1),b=(3,-2),c=(3,4).
(1)求a·
(b+c);
(2)若(a+lb)∥c,求实数l的值.
17.(本小题满分10分)经市场调查,某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数,日销售量(单位:
件)近似地满足:
f(t)=-t+30(1≤t≤20,tÎ
N*),日销售价格(单位:
元)近似地满足:
g(t)=
(1)写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系;
(2)当t等于多少时,日销售额S最大?
并求出最大值.
18.(本小题满分10分)已知函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,0<j<2p)的部分图象如图所示,
y
x
O
–2
(第18题)
●
且f(0)=f().
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的解析式,并写出它的单调增区间.
19.(本小题满分10分)
已知|a|=,|b|=,a·
b=-5,c=xa+(1-x)b.
(1)当b^c时,求实数x的值;
(2)当|c|取最小值时,求向量a与c的夹角的余弦值.
20.(本小题满分10分)对于定义在[0,+¥
)上的函数f(x),若函数y=f(x)-(ax+b)满足:
①在区间[0,+¥
)上单调递减;
②存在常数p,使其值域为(0,p],则称函数g(x)=ax+b为f(x)的“渐近函数”.
(1)证明:
函数g(x)=x+1是函数f(x)=,xÎ
[0,+¥
)的渐近函数,并求此时实数p的值;
(2)若函数f(x)=,xÎ
)的渐近函数是g(x)=ax,求实数a的值,并说明理由.
参考答案
1.(3,+¥
)2.43.24.-5.96.[,1]7.b<a<c8.y=sin(2x-)9.-410.211.12.(,10)
13.(0,+¥
)14.[,)
本大题共6小题,共58分.
15.解
(1)因为sin2x+cos2x=1,所以cos2x=1-sin2x=1-()2=.……2分
又因为0≤x≤,故cosx≥≤0,所以cosx=.…………4分
(2)原式==……7分==.…………8分
16.解
(1)因为b+c=(3,-2)+(3,4)=(6,2),………………………2分
所以a·
(b+c)=(2,-1)·
(6,2)=12-2=10.………………………5分
(2)因为a+lb=(2,-1)+(3l,-2l)=(2+3l,-1-2l),
又(a+lb)//c,所以4(2+3l)=3(-1-2l),…8分解得l=-.…10分
17.解
(1)由题意知,S=f(t)·
g(t)
=…………4分
(2)当1≤t≤10,tÎ
N*时,
S=(2t+40)(-t+30)=-2t2+20t+1200=-2(t-5)2+1250.
因此,当t=5时,S最大值为1250;
………………………7分
当11≤t≤20,tÎ
S=15(-t+30)=-15t+450为减函数,
因此,当t=11时,S最大值为285.………………………9分
综上,S的最大值为1250.
答:
当t=5时,日销售额S最大,最大值为1250元.……………10分
18.解
(1)由题意知,函数图象的一条对称轴为x==,…………2分
则=-=,即T=p.所以函数的最小正周期是π.……………4分
(2)由图可知,A=2,因为T=p,所以w==2.………………………6分
又f()=-2,所以2sin(+j)=-2,即sin(+j)=-1,
因此+j=2kp-,即j=2kp-,k∈Z.
因为0<j<2p,所以j=.所以函数的解析式为f(x)=2sin(2x+).…8分
由2kp-≤2x+≤2kp+,k∈Z,解得kp-≤x≤kp-,k∈Z,
所以函数的单调增区间为[kp-,kp-],k∈Z.………………10分
19.解
(1)b·
c=b·
[xa+(1-x)b]=xb·
a+(1-x)b2
=x×
(-5)+(1-x)×
5=0,解得x=.………………4分
(2)|c|2=[xa+(1-x)b]2=x2a2+2x(1-x)a·
b+(1-x)2b2
=10x2-10x(1-x)+5(x-1)2
=25x2-20x+5=25(x-)2+1.
所以,当x=时,|c|2有最小值1,即|c|有最小值1.……………7分
此时,c=a+b.
又a·
c=a·
(a+b)=a2+a·
b=×
10+×
(-5)=1.
设向量a,c的夹角为q,
则cosq===.………………………10分
20.解
(1)由题意知,f(x)-x-1=-x-1==.
易知,函数y=在[0,+¥
)上单调递减,且值域为(0,2].
所以,函数g(x)=x+1是函数f(x)=,xÎ
)的渐近函数,
此时p=2.………………………3分
(2)①当a>1时,考察函数y=-ax,
令y=0,得=ax,两边平方得x2+1=a2x2,所以x2=,
因为x≥0,所以x=,即x=时,函数y=-ax的值为0.
因此,函数y=-ax的值域不是(0,p].
所以g(x)=ax不是函数f(x)=的渐近函数.…………………5分
②当a=1时,考察函数y=-x,
由于-x=,下面考察t=+x.
任取x1,x2Î
),且x1<x2,
则t1-t2=+x1--x2
=-+x1-x2=+x1-x2
=(x1-x2)(+1)<0,
所以函数t=+x在[0,+¥
)上单调递增,
又当x无限增大时,t的值也无限增大,所以t的取值范围是[1,+¥
).
因为函数y=在(0,+¥
)单调递减,
从而函数y=-x在[0,+¥
)单调递减,且值域为(0,1].
所以g(x)=x是f(x)=的渐近函数.…………………8分
③当0<a<1时,
方法
(一)y=-ax=(-x)+(1-a)x
因为-xÎ
(0,1],所以y>(1-a)x.
假设y=ax是f(x)=的渐近函数,
则y=-ax的值域为(0,p],故y的最大值为p.
设(1-a)x=p,则x=,当x>时,必有y>p,矛盾.
所以,此时g(x)=ax不是函数f(x)的渐近函数.………………………9分
方法
(二)记F(x)=-ax,则F(0)=1,
由-ax=1,即=ax+1,解得x=>0,即F(0)=F(),
所以函数y=-ax在[0,+¥
)上不单调,
所以g(x)=ax不是函数f(x)的渐近函数.………………………9分
④若a≤0,则函数y=-ax在[0,+¥
)上单调递增,不合题意.
综上可知,当且仅当a=1时,g(x)=x是函数f(x)=的渐近函数.
……………10分
8