构造函数法在高考解导数和数列问题文档格式.doc
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1.【09天津·
文】10.设函数在R上的导函数为,且,下面的不等式在R上恒成立的是
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】由已知,首先令得,排除B,D.
令,则,
① 当时,有,所以函数单调递增,所以当时,,从而.
② 当时,有,所以函数单调递减,所以当时,,从而.综上.故选A.
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用.通过分析解析式的特点,考查了分析问题和解决问题的能力.
2.【09辽宁·
理】21.(本小题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)证明:
若,则对任意,,有.
解:
(Ⅰ)的定义域为.
…………………2分
(i)若即,则,
故在单调增加.
(ii)若,而,故,则当时,;
当及时,.故在单调减少,
在单调增加.
(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.
(II)考虑函数.
则.
由于故,即在单调增加,从而当时有
,即,故,当时,有.………………………………12分
3.【09全国Ⅱ·
理】22.(本小题满分12分)
设函数有两个极值点,且.
(I)求的取值范围,并讨论的单调性;
(II)证明:
.
【解】
(I)由题设知,函数的定义域是
且有两个不同的根,故的判别式
,
即
且…………………………………①
又故.
因此的取值范围是.
当变化时,与的变化情况如下表:
因此在区间和是增函数,在区间是减函数.
(II)由题设和①知
于是 .
设函数
则
当时,;
当时,故在区间是增函数.
于是,当时,
因此.www.ks5u.com
5.2009届山东省德州市高三第一次练兵(理数)21.(本小题满分12分)
已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.
(1)求、的表达式;
(2)求证:
当时,方程有唯一解;
(3)当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.
(1)依题意,即,.
∵上式恒成立,∴① …………………………1分
又,依题意,即,.
∵上式恒成立,∴ ② …………………………2分
由①②得. …………………………3分
∴ …………………………4分
(2)由
(1)可知,方程,
设,
令,并由得解知………5分
令由…………………………6分
列表分析:
(0,1)
1
(1,+¥
)
-
+
递减
递增
可知在处有一个最小值0,…………………………7分
当时,>0,
∴在(0,+¥
)上只有一个解.
即当x>0时,方程有唯一解. …………………………8分
(3)设,…………9分
在为减函数又………11分
所以:
为所求范围. …………………………12分
7.山东省滨州市2009年5月高考模拟试题(理数)20.(本题满分12)
已知函数
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,设斜率为的直线与函数相交于两点
,求证:
(Ⅰ)略
(Ⅱ)当时,
以下先证,
所以只需证,即
设,则.
所以在时,为减函数,.
即.又,
∴成立,即.
同理可证.
∴.
9.山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22.(本题满分14分)
已知函数在上为增函数,且,
,.
(1)求的取值范围;
(2)若在上为单调函数,求的取值范围;
(3)设,若在上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.
(1)由题意,在上恒成立,即
.故在上恒成立,……………2分
只须,即,只有.结合得.…4分
(2)由
(1),得
在上为单调函数,
或者在恒成立.……………..6分
等价于即
而.…………………………………8分
等价于即在恒成立,
而.
综上,的取值范围是.………………………………………10分
(3)构造函数
当时,,,所以在上不存在一个,
使得成立.
当时,…………12分
因为所以,,所以在恒成立.
故在上单调递增,,只要,
解得
故的取值范围是……………………………………………14分