数学归纳法经典例题及答案Word文档下载推荐.doc
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综合
(1)、
(2),……
注意:
数学归纳法使用要点:
两步骤,一结论。
二、题型归纳:
题型1.证明代数恒等式
例1.用数学归纳法证明:
证明:
①n=1时,左边,右边,左边=右边,等式成立.
②假设n=k时,等式成立,即:
.
当n=k+1时.
这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,
由①、②可知,对一切自然数n等式成立.
题型2.证明不等式
例2.证明不等式(n∈N).
①当n=1时,左边=1,右边=2.
左边<
右边,不等式成立.
②假设n=k时,不等式成立,即.
那么当n=k+1时,
这就是说,当n=k+1时,不等式成立.
由①、②可知,原不等式对任意自然数n都成立.
说明:
这里要注意,当n=k+1时,要证的目标是
,当代入归纳假设后,就是要证明:
认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标.
题型3.证明数列问题
例3(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n(n≥2,n∈N*).
(1)当n=5时,求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值.
(2)设bn=,Tn=b2+b3+b4+…+bn.试用数学归纳法证明:
当n≥2时,Tn=.
解:
(1)当n=5时,
原等式变为(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5
令x=2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243.
(2)因为(x+1)n=[2+(x-1)]n,所以a2=Cn2·
2n-2
bn==2Cn2=n(n-1)(n≥2)
①当n=2时.左边=T2=b2=2,
右边==2,左边=右边,等式成立.
②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,
即Tk=成立
那么,当n=k+1时,
左边=Tk+bk+1=+(k+1)[(k+1)-1]=+k(k+1)
=k(k+1)=
==右边.
故当n=k+1时,等式成立.
综上①②,当n≥2时,Tn=.
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