数学分析第三章函数极限.docx
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数学分析第三章函数极限
第三章函数极限
教学目的：
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；
2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；
3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：
14学时
§1函数极限概念（2学时）
教学目的：
使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：
使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。
会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：
函数极限的概念。
教学难点：
函数极限的定义及其应用。
一、 复习：
数列极限的概念、性质等
二、 讲授新课：
（一）时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义（和.）
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．
例1验证
例2验证
例3验证
证……
（二）时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证
例5验证
例6验证
证由=
为使需有
为使需有
于是,倘限制,就有
例7验证
例8验证（类似有
（三）单侧极限:
1．定义：
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域
然后介绍等的几何意义.
例9验证
证考虑使的
2. 单侧极限与双侧极限的关系:
Th
类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=
§2函数极限的性质（2学时）
教学目的：
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：
函数极限的性质及其计算。
教学难点：
函数极限性质证明及其应用。
教学方法：
讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1. 唯一性:
2. 局部有界性:
3. 局部保号性:
4. 单调性（不等式性质）:
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有
证设=（现证对有）
註:
若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5. 迫敛性:
6. 四则运算性质:
（只证“+”和“”）
（二）利用极限性质求极限：
已证明过以下几个极限：
（注意前四个极限中极限就是函数值）
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1（利用极限和）
例2
例3
註:
关于的有理分式当时的极限.
例4[利用公式]
例5
例6
例7
例8
例9
例10已知求和
补充题:
已知求和（）
§3函数极限存在的条件（4学时）
教学目的：
理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。
教学要求：
掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。
教学重点：
海涅定理及柯西准则。
教学难点：
海涅定理及柯西准则 运用。
教学方法：
讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.
一. Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：
Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.（证）
Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.
例1证明函数极限的双逼原理.
例2证明
例3证明不存在.
二. Cauchy准则:
Th2（Cauchy准则）设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,
证
（利用Heine归并原则）
Cauchy准则的否定:
不存在的充要条件.
例4用Cauchy准则证明极限不存在.
证取
例5设在[上函数↘.则极限存在,在[上有界.（简证,留为作业）.
§4两个重要极限（2时）
教学目的：
掌握两个重要极限，并能熟练应用。
教学要求：
掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。
教学重点：
两个重要极限的证明及运用。
教学难点：
两个重要极限的证明及运用。
教学方法：
讲授定理的证明，举例说明应用，练习。
一．（证）（同理有）
例1
例2.
例3
例4
例5证明极限不存在.
二.
证对有
例6特别当等.
例7
例8
例9
§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2学时）
教学目的：
理解无穷小（大）量及其阶的概念。
会利用它们求某些函数的极限。
教学要求：
作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。
一. 无穷小量:
定义.记法.
例1判断:
⑴可怜虫是很小很可怜的虫;（）
⑵无穷小量是很小很小的量.（）
无穷小的性质:
性质1（无穷小的和差）
性质2（无穷小与有界量的积）
例2
无穷小与极限的关系:
Th1（证）
二.无穷小的阶:
设时
1．高阶（或低阶）无穷小：
2．同阶无穷小：
三． 等价无穷小：
Th2（等价关系的传递性）.
等价无穷小在极限计算中的应用:
Th3（等价无穷小替换法则）
几组常用等价无穷小:
（见[2]）
例3时,无穷小与是否等价?
例4
四.无穷大量:
1. 定义:
2. 性质:
性质1同号无穷大的和是无穷大.
性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.
性质3与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.
3. 无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习题课（2学时）
一、理论概述：
二、范例讲析：
例1设数集无界.试证明:
存在数列{}使
例2设为定义在上的递增函数.证明:
极限存在的充要条件是函数在上有上界.
例3 证明:
对其中是Riemann函数.
例4设函数定义在内,且满足条件ⅰ>
ⅱ>对有试证明是内的常值函数.
例5求极限{注意=有界}
例6求和.
解法一
又
解法二，由且原式极限存在，，即.
例7.求.
注意时,且.先求由Heine归并原则
即求得所求极限.
例8求和.并说明极限是否存在.
解;
可见极限不存在.
（注：
可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!
）
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