待定系数法教案Word文档下载推荐.doc

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知识要点、记下疑难点

1.待定系数法：

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．

2.正比例函数的一般形式为y＝kx（k≠0），反比例函数的一般形式为y＝（k≠0），一次函数的一般形式为y＝kx＋b（k≠0），二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.

研一研：

问题探究、课堂更高效

[问题情境]　对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），如果知道了k与b的值，函数关系式就确定了，那么如果已知一次函数的图象过两个已知点，用怎样的方法来求一次函数的关系式？

本节就来学习求函数解析式的一种常用方法——待定系数法．

探究点一　待定系数法的概念

问题1　已知一个正比例函数的图象通过点（－3,4），如何求这个函数的解析式？

答：

我们可设所求的正比例函数为y＝kx，其中k待定，根据已知条件，将点（－3,4）代入可得k＝－.

所以所求的正比例函数是y＝－x.

问题2　在问题1中求函数解析式的方法称为待定系数法，那么你能给待定系数法下个定义吗？

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．

问题3　正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么？

各有几个需要确定的系数？

　解析式分别为y＝kx（k≠0），y＝kx＋b（k≠0），y＝ax2＋bx＋c（a≠0），它们的解析式中待定系数各有1个，2个，3个．

问题4　对于两个按降幂顺序排列的一元多项式，当满足什么条件时，它们才相等？

　当且仅当它们对应同类项的系数相等，则这两个多项式相等．

探究点二　用待定系数法求一次函数

问题1　我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通常需要几个条件？

　只需要一个条件．

问题2　我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？

为什么？

　需要2个独立的条件．因为一次函数的解析式中有2个待定的系数．

例1　已知f（x）是一次函数，且有2f

（2）－3f

（1）＝5,2f（0）－f（－1）＝1，求这个函数的解析式．

解：

　设所求的一次函数是f（x）＝kx＋b（k≠0），其中k，b待定.根据已知条件，得方程组

即解此方程组，得k＝3，b＝－2.因此所求的函数是y＝3x－2.

小结：

　在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．

跟踪训练1　已知函数f（x）是一次函数，且有f[f（x）]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．

　设该一次函数是y＝ax＋b，由题意得f[f（x）]＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋8.

因此有，解方程组，得或.所以一次函数为f（x）＝3x＋2或f（x）＝－3x－4.

探究点三　用待定系数法求二次函数

问题1　二次函数解析式有哪几种表达式？

　二次函数解析式有三种形式：

一般式：

y＝ax2＋bx＋c；

两根式：

y＝a（x－x1）（x－x2）；

顶点式：

y＝a（x－h）2＋k.

问题2　我们要确定二次函数的解析式，需要几个条件？

　需要三个条件，因为二次函数解析式中有三个待定的系数．

问题3　如何根据题设条件来设二次函数的解析式？

（1）已知二次函数图象过三个已知点，可设解析式为y＝ax2＋bx＋c；

（2）已知二次函数图象的顶点坐标（m，n），可设解析式为y＝a（x－m）2＋n；

（3）已知二次函数图象与x轴有两个交点，可设解析式为y＝a（x－x1）（x－x2）．

例2　已知一个二次函数f（x），f（0）＝－5，f（－1）＝－4，f

（2）＝5，求这个函数．

　设所求函数为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），其中a，b，c待定，

根据已知条件，得方程组，解此方程组，得a＝2，b＝1，c＝－5.

因此，所求函数为f（x）＝2x2＋x－5.

小结:

　确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.

跟踪训练2　已知二次函数图象的顶点为（－1，－3），图象与y轴交点为（0，－5），求函数的解析式．

解:

　设所求的二次函数为y＝a（x＋1）2－3,由条件得：

点（0，－5）在抛物线上，

所以有a－3＝－5，得a＝－2.故所求的抛物线解析式为y＝－2（x＋1）2－3.即y＝－2x2－4x－5.

例3.已知函数f（x）＝x2－4ax＋2a＋6，若函数的值域是[0,＋∞），求函数的解析式．

　因为函数的值域是[0,＋∞），所以Δ＝16a2－4（2a＋6）＝0，解得a＝－1或a＝.

所以f（x）＝x2＋4x＋4或f（x）＝x2－6x＋9.

　用待定系数法求函数解析式是常用的方法，其步骤为：

先设出含有待定系数的函数解析式，再根据条件列出含有待定系数的方程或方程组，最后求出方程或方程组的解，从而写出所求的解析式．其步骤可简记为四个字“设、列、求、写．”

跟踪训练3　二次函数的图象与x轴交于A（－2,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C（0，－3），求此二次函数的解析式．

　因为二次函数的图象与x轴交于A（－2,0）,B（3,0）两点，

所以可设二次函数为f（x）＝a（x＋2）（x－3），

将C点坐标（0，－3）代入f（x）的表达式，得－6a＝－3，解得a＝.

所以二次函数是f（x）＝（x＋2）（x－3），即f（x）＝x2－x－3.

练一练：

当堂检测、目标达成落实处

1.二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为 （　　）

A．－9B．9C．3D．－3

解析:

　∵y＝－（x＋3）2＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9.

2.已知y＋5与3x＋4成正比例，且当x＝1时，y＝2.则y与x的函数关系式为______________．

　设y＋5＝k（3x＋4），由x＝1时，y＝2，得2＋5＝k（3＋4），所以k＝1，

所求函数关系式为y＝3x－1.

3.若函数y＝x2＋（a＋2）x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.

　对称轴x＝－＝1，又＝1，∴b＝6.

课堂小结：

1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；

已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）通常选择顶点式；

已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式．

2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.

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