高中数学最新北师大版高中数学必修五学案第二章 疑难规律方法第二章 解三角形.docx

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高中数学最新北师大版高中数学必修五学案第二章疑难规律方法第二章解三角形

1　正弦定理的几种证明方法

正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，思维的深度、广度和灵活度．

正弦定理的内容：

在△ABC中，三边和三角分别是a，b，c和A，B，C，则

＝＝.

一、向量法

证明　在△ABC中作单位向量i⊥，则：

i·＝i·（＋），

⇒|i|||sinA＝|i|||sinC，

⇒＝，

同理可证：

＝，

由此证得正弦定理：

＝＝.

二、高线法

证明　在△ABC中作高线CD，

则在Rt△ADC和Rt△BDC中，

CD＝bsinA，

CD＝asinB，

即bsinA＝asinB，

∴＝，

同理可证：

＝，

即正弦定理可证得．

三、外接圆法

证明　作△ABC的外接圆O，过点C连接圆心与圆交于点D，连接AD，设圆的半径为R，

∴△CAD为Rt△，且b＝2RsinD，且∠D＝∠B，

∴b＝2RsinB，

即＝2R，

同理：

＝2R，＝2R，

∴＝＝.

四、面积法

证明　

∵S△ABC＝bcsinA

＝absinC＝acsinB，

∴＝＝.

2　正弦定理的一个推论及应用

在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：

在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系怎样？

那么几乎所有的同学都会认为A与B的大小关系不确定．若再问：

在△ABC中，若A>B，则sinA与sinB的大小关系怎样？

仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．

一、结论

例1　在△ABC中，sinA>sinB⇔A>B.

分析　题中条件简单，不易入手．因为是在三角形中，所以可以联系边角关系的正弦定理．

证明　因为sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB（其中R为△ABC外接圆的半径），

根据正弦定理变式a＝2RsinA，b＝2RsinB（其中a，b分别为A，B的对边），可得sinA>sinB⇔a>b，

再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，

可得a>b⇔A>B.所以sinA>sinB⇔A>B.

二、结论的应用

例2　在△ABC中，A＝45°，a＝4，b＝2，求B.

分析　在遇到这样的问题时，有的同学会直接由正弦定理得B＝30°或B＝150°.其实这是错误的！

只需由上述结论即可发现．

解　由正弦定理得＝，sinB＝，

又sinB

点评　同学们在解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理．同时，使用正弦定理求角时，要特别细心，不要出现漏解或增解的情况．

例3　在△ABC中，已知B＝30°，b＝3，c＝3，求A.

分析　同学们在求解这个问题的时候，在用正弦定理求角C时不要丢解．

解　由正弦定理及已知条件，得

sinC＝＝，

因为sinC>sinB，

所以C>B，所以C有两解．

（1）当C＝60°时，有A＝90°；

（2）当C＝120°时，有A＝30°.

点评　除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.

3　三角形定“形”记

根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两种方法，即化角为边或化边为角．下面例析这两种方法的应用．

一、通过角之间的关系定“形”

例1　在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．正三角形

分析　通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角（边）的关系为止，即可判断三角形的形状．

解析　方法一　利用正弦定理和余弦定理

2sinAcosB＝sinC可化为

2a·＝c，

即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b.

所以△ABC是等腰三角形．故选B.

方法二　因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，

即C＝π－（A＋B），所以sinC＝sin（A＋B）．

由2sinAcosB＝sinC，

得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin（A－B）＝0.

又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.

所以△ABC是等腰三角形，故选B.

答案　B

点评　根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角（边）之间的关系．

二、通过边之间的关系定“形”

例2　在△ABC中，若＝，则△ABC是（　　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形

分析　先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状．

解析　在△ABC中，由正弦定理，可得

＝＝，整理得a（a＋c）＝b（b＋c），

即a2－b2＋ac－bc＝0，（a－b）（a＋b＋c）＝0.

因为a＋b＋c≠0，所以a－b＝0，即a＝b，

所以△ABC是等腰三角形．故选C.

答案　C

点评　本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现.

4　细说三角形中解的个数

解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨．

一、出现问题的根源

我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，作图步骤如下：

①先做出已知角A，把未知边c画为水平的，角A的另一条边为已知边b；②以b边的不是A点的另外一个端点为圆心，边a为半径作圆C；③观察圆C与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数．

显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况：

当A为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：

根据上面的分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A为锐角，只有当a不小于bsinA时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的．当A为钝角时，只有当a大于b时才有解．

二、解决问题的策略

1．正弦定理法

已知△ABC的两边a，b和角A，求B.

根据正弦定理＝，可得sinB＝.

若sinB>1，三角形无解；若sinB＝1，三角形有且只有一解；若0

2．余弦定理法

已知△ABC的两边a，b和角A，求c.

利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，

整理得c2－2bccosA－a2＋b2＝0.

适合上述一元二次方程的解c便为此三角形的解．

3．公式法

当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：

A<90°

A≥90°

a≥b

a

a>b

a≤b

a>bsinA

a＝bsinA

a

一解

二解

一解

无解

一解

无解

三、实例分析

例　在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝（其中角A，B，C的对边分别为a，b，c），试判断符合上述条件的△ABC有多少个？

分析　此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述方法来判断△ABC解的情况．

解　方法一　由正弦定理＝，

可得sinB＝sin45°＝<1.

又因为a>b，所以A>B，故B＝30°，

符合条件的△ABC只有一个．

方法二　由余弦定理得

22＝c2＋（）2－2××ccos45°，

即c2－2c－2＝0，解得c＝1±.

而1－<0，故仅有一解，符合条件的△ABC只有一个．

方法三　A为锐角，a>b，故符合条件的△ABC只有一个．

5　挖掘三角形中的隐含条件

解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对解三角形公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现像，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘．

1．两边之和大于第三边

例1　已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．

[错解]　∵c>b>a且△ABC为钝角三角形，

∴C为钝角．

由余弦定理得cosC＝

＝＝<0.

∴k2－4k－12<0，解得－2

又∵k为三角形的边长，∴k>0.

综上所述，0

[点拨]　忽略了隐含条件：

k，k＋2，k＋4构成一个三角形，k＋（k＋2）>k＋4.即k>2而不是k>0.

[正解]　∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，

∴C为钝角．

由余弦定理得cosC＝＝<0.

∴k2－4k－12<0，解得－2

由两边之和大于第三边得k＋（k＋2）>k＋4，

∴k>2，综上所述，k的取值范围为2

温馨点评　虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就行了.

2．三角形的内角范围

例2　在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________．

[错解]　由正弦定理，得sinC＝＝.

∴C＝60°，∴A＝90°.

则S△ABC＝AB·AC·sinA＝×2×2×1＝2.

[点拨]　上述解法中在用正弦定理求C时丢了一解．实际上由sinC＝可得C＝60°或C＝120°，它们都满足条件．

[正解]　由正弦定理，得sinC＝＝.

∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，

∴S△ABC＝AB·AC·sinA＝2.

当C＝120°时，A＝30°，

∴S△ABC＝AB·AC·sinA＝.

故△ABC的面积是2或.

温馨点评　利用正弦定理理解“已知两边及其中一边对角，求另一角”的问题时，由于三角形内角的正弦值都为正，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确而出错.

例3　在△ABC中，＝，试判断三角形的形状．

[错解]　＝⇔＝，

⇔＝⇔sinAcosA＝sinBcosB，

⇔sin2A＝sin2B，∴A＝B.∴△ABC是等腰三角形．

[点拨]　上述错解忽视了满足sin2A＝sin2B的另一个角之间的关系：

2A＋2B＝180°.

[正解]　＝⇔＝，

⇔＝⇔sinAcosA＝sinBcosB

⇔sin2A＝sin2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝180°.

∴A＝B或A＋B＝90°.

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

温馨点评　在△ABC中，sinA＝sinB⇔A＝B是成立的，但sin2A＝sin2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝180°.

例4　在△ABC中，B＝3A，求的取值范围．

[错解]　由正弦定理得＝＝

＝＝

＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1.

∵0≤cos2A≤1，∴－1≤4cos2A－1≤3，

∵>0，∴0<≤3.

[点拨]　忽略了三角形内角和为180°，及角A、B的取值范围，从而导致的取值范围求错．

[正解]　由正弦定理得＝＝

＝＝

＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1.

∵A＋B＋C＝180°，B＝3A.

∴A＋B＝4A<180°，∴0°

∴

∴1<4cos2A－1<3，∴1<<3.

温馨点评　解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致