导数与函数的单调性练习题文档格式.doc

导数与函数的单调性练习题文档格式.doc

《导数与函数的单调性练习题文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数与函数的单调性练习题文档格式.doc（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

x<

1，可知－4<

g（x）<

0，∴a≥0或a≤－4，故选C.

3．函数f（x）＝x＋的单调区间为________．

（－3,0），（0,3）解析：

f′（x）＝1－＝，令f′（x）<

0，解得－3<

0或0<

3，故单调减区间为（－3,0）和（0,3）．

4函数的单调增区间为，单调减区间为___________________

；

解析：

5．确定下列函数的单调区间:

（1）y=x3－9x2+24x

（2）y=3x－x3

（1）解：

y′=（x3－9x2+24x）′=3x2－18x+24=3（x－2）（x－4）

令3（x－2）（x－4）＞0，解得x＞4或x＜2.

∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是（4，+∞）和（－∞，2）

令3（x－2）（x－4）＜0，解得2＜x＜4

.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是（2，4）

（2）解：

y′=（3x－x3）′=3－3x2=－3（x2－1）=－3（x+1）（x－1）

令－3（x+1）（x－1）＞0，解得－1＜x＜1.

∴y=3x－x3的单调增区间是（－1，1）.

令－3（x+1）（x－1）＜0，解得x＞1或x＜－1.

∴y=3x－x3的单调减区间是（－∞，－1）和（1，+∞）

6．函数y＝ln（x2－x－2）的单调递减区间为__________．

[答案]　（－∞，－1）[解析]　函数y＝ln（x2－x－2）的定义域为（2，＋∞）∪（－∞，－1），令f（x）＝x2－x－2，f′（x）＝2x－1<

0，得x<

，

∴函数y＝ln（x2－x－2）的单调减区间为（－∞，－1）

7．已知y＝x3＋bx2＋（b＋2）x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．

[答案]　b<

－1或b>

2[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4（b＋2）≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.

8.已知x∈R,求证：

ex≥x+1．

证明:

设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1．

∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．

当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0．

当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．

9．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.

解：

y′=（x+）′=1－1·

x－2= 令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间;

是（－∞，－1）和（1，+∞）.令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是（－1，0）和（0，1）

10．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

（Ⅰ）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，

所以

由在M（-1,f（-1））处的切线方程是，知

故所求的解析式是

（Ⅱ）

解得

当

故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．

点拨：

本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

11.已知函数f（x）=x3-x2+bx+c.

（1）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;

解

（1）=3x2-x+b,因f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即3x2-x+b≥0,

∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g（x）=x-3x2.当x=时，g（x）max=,∴b≥.

12.已知函数f（x）=x（x-1）（x-a）在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.

解f（x）=x（x-1）（x-a）=x3-（a+1）x2+ax∴=3x2-2（a+1）x+a要使函数f（x）=x（x-1）（x-a）在（2,+∞）上是增函数，只需=3x2-2（a+1）x+a在（2，+∞）上满足≥0即可.∵=3x2-2（a+1）x+a的对称轴是x=,

∴a的取值应满足：

或解得:

a≤.∴a的取值范围是a≤.

13．已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：

所以实数的取值范围为．

已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：

即“若函数单调递增，则；

若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程，

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间。

（1）由的图象经过P（0，2），知，所以，

由在点M（）处的切线方程为

∴即∴解得

故所求的解析式是

（2）令，解得

当或时，

当时，

故在内是增函数，在内是减函数

在内是增函数

15．已知函数f（x）＝，求导函数f′（x），并确定f（x）的单调区间．

解析：

f′（x）＝＝

＝－

令f′（x）＝0，得x＝b－1且x≠1.

当b－1＜1，即b＜2时，f′（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，b－1）

b－1

（b－1,1）

（1，＋∞）

f′（x）

－

＋

当b－1＞1，即b＞2时，f′（x）的变化情况如下表：

（－∞，1）

（1，b－1）

（b－1，＋∞）

所以，当b＜2时，函数f（x）在（－∞，b－1）上单调递减，在（b－1,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．

当b＞2时，函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，b－1）上单调递增，在（b－1，＋∞）上单调递减．

当b－1＝1，即b＝2时，f（x）＝，所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递减．

强化提高题：

16．设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）<

0，则当a<

b时，有（　　）

A．f（x）g（b）>

f（b）g（x）B．f（x）g（a）>

f（a）g（x）

C．f（x）g（x）>

f（b）g（b）D．f（x）g（x）>

f（b）g（a）

令y＝f（x）·

g（x），则y′＝f′（x）·

g（x）＋f（x）·

g′（x），由于f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）<

0，所以y在R上单调递减，又x<

b，故f（x）g（x）>

f（b）g（b）．

17．若函数y＝x3－ax2＋4在（0,2）内单调递减，则实数a的取值范围是____________．

[答案]　[3，＋∞）[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<

0在区间（0,2）内恒成立，

即a>

x在区间（0,2）上恒成立，∴a≥3.

18．已知函数f（x）＝ax－lnx，若f（x）＞1在区间（1，＋∞）内恒成立，实数a的取值范围为________．

[答案]　a≥1[解析]　由已知a＞在区间（1，＋∞）内恒成立．

设g（x）＝，则g′（x）＝－＜0　（x＞1），∴g（x）＝在区间（1，＋∞）内单调递减，∴g（x）＜g

（1），∵g

（1）＝1，∴＜1在区间（1，＋∞）内恒成立，∴a≥1.

19．函数y＝x2e－x的单调递增区间是________．

（0,2）解析：

y′＝（2x－x2）e－x＞0⇔0＜x＜2，故选填（0,2）．

20若在增函数，则的关系式为是_______________

解析：

恒成立，则

21．若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．

b>

0解析：

y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>

0．

22.定义在R上的奇函数f（x）在［-a,-b］（a>

0）上是减函数且f（-b）>

0,判断F（x）=［f（x）］2在［b,a］上的单调性并证明你的结论.

设b≤x1<

x2≤a,则

-b≥-x1>

-x2≥-a.

∵f（x）在［-a,-b］上是减函数,∴0<

f（-b）≤f（-x1）<

f（-x2）≤f（-a）,∵f（x）是奇函数,∴0<

-f（x1）<

-f（x2），

则f（x2）<

f（x1）<

0,［f（x1）］2<

［f（x2）］2,即F（x1）<

F（x2）.

∴F（x）在［b,a］上为增函数.

23．设函数f（x）＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）．

（1）求a、b的值；

（2）讨论函数f（x）的单调性．

[解析]　

（1）求导得f′（x）＝3x2－6ax＋3b.

由于f（x）的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11），所以f

（1）＝－11，f′

（1）＝－12，

即，解得a＝1，b＝－3.

（2）由a＝1，b＝－3得f′（x）＝3x2－6ax＋3b＝3（x2－2x－3）＝3（x＋1）（x－3）．

令f′（x）>

0，解得x<

－1或x>

3；

又令f′（x）<

0，解得－1<

3.所以当x∈（－∞，－1）时，f（x）是增函数；

当x∈（3，＋∞）时，f（x）也是增函数；

当x∈（－1,3）时，f（x）是减函数．

24．若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．

令得或，

∴当时，，当时，，

∴，∴．

25.设函数f（x）=x+（a>

0）.

（1）求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；

（2）若函数f（x）在［a-2,+∞］上递增，求a的取值范围.

（1）f（x）在（0,+∞）上的增区间为［,+∞］，减区间为（0，）.

证明：

∵f′（x）=1-,当x∈［,+∞］时，

∴f′（x）>

0,当x∈（0，）时，f′（x）<

0.

即f（x）在［+∞］上单调递增，在（0，）上单调递减.（或者用定义证）

（2）［a-2,+∞］为［，+∞］的子区间，所以a-2≥a--2≥0（+1）（-2）≥0-2≥0a≥4.

26．已知函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

　可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[解]　∵函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，∴a＜0，b＜0.

由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.

令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0.

∴当x∈时，函数为增函数．

令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0