基本初等函数(Ⅰ)Word格式文档下载.docx
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一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数
图
象
a>1
0<a<1
定义域
__________
值域
性
质
过定点__________
在R上是______
在R上是_____
(二)对数函数
1.对数
(1)对数:
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的_______,记作x=_______.其中a叫做对数的_______,N叫做_______.
(2)两类重要的对数
①常用对数:
以_______为底的对数叫做常用对数,并把log10N记作_______;
②自然对数:
以_______为底的对数称为自然对数,并把logeN记作_______.
无理数e=2.71828…;
(3)对数与指数之间的关系
当a>0,a≠1时,ax=N_______x=logaN.
(4)对数运算的性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(MN)=___________;
②loga=______________;
③logaMn=_____________;
一般地,=_______;
(5)换底公式及对数恒等式
①对数恒等式:
=_______;
loga1=_______,logaa=_______.
②换底公式:
logab=_______(a>0且a≠1;
c>0且c≠1;
b>0).特别地,logab=
2.对数函数的图象及性质
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数
____________
性质
过定点________
在(0,+∞)上是_____
3.对数函数与指数函数的关系
对数函数y=logax(a>
0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>
0且a≠1)互为反函数;
它们的图象关于直线________对称.
(三)幂函数
1.幂函数的定义
一般地,函数________叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2.几个常用的幂函数的图象与性质
幂函数y=xα(α∈R)
α>0
α<0
(1)图象过点_______
图象过点_______
(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大,即在(0,+∞)上是_______
在第一象限内,函数值随x的增大而减小,即在(0,+∞)上是_______
※(3)在第一象限内,当α>1时,图象下凸;
当0<α<1时,图象上凸
※在第一象限内,图象都下凸
※(4)形如y=x或y=x-(m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断:
当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数;
当m为奇数,n为偶数时,幂函数在定义域上为非奇非偶函数;
当m为偶数,n为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数.
自查自纠:
(一)
1.
(1)n次方根
(2)a |a|
2.
(1)1
(2) (3) (4)ar+s ars arbr
3.R (0,+∞) (0,1) 增函数 减函数
(二)
1.
(1)对数 logaN 底数 真数
(2)①10 lgN ②e lnN (iii)0 1
(3)⇔
(4)①logaM+logaN ②logaM-logaN
③nlogaM logaM
(5)①N ,0,1.②
2.(0,+∞) R (1,0) 增函数 减函数
3.y=x
(三)
1.y=xα
2.
(1)(0,0)和(1,1) (1,1)
(2)增函数 减函数
典型例题讲练
类型一 指数幂和对数的运算
例题1 ()化简下列各式:
(1)[(0.064)-2.5]--π0;
.
解:
(1)原式=--1
=--1
=0.
(2)计算log535+2log-log5-log514的值.
原式=log5+2log2=log553-1=2.
变式1(2016浙江理12)已知a>
b>
1.若logab+logba=,ab=ba,则a=,b=.
【答案】,
(2015浙江理12)若,则.
【答案】.
类型二 指数和对数函数的图象及其应用
例题2
(1)已知实数a,b满足等式=,下列五个关系:
①0<b<a;
②a<b<0;
③0<a<b;
④b<a<0;
⑤a=b=0.其中不可能成立的关系有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
作出函数y=与y=的图象,然后作直线y=m,y=n(0<m<1<n).
我们很容易得到a<
b<
0或0<
a或a=b=0,即可能成立的为①②⑤,不可能成立的为③④.故选B.
(2)()已知函数f(x)=|log2x|,0<m<n,且f(m)=f(n),若函数f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m2=( )
A. B. C. D.
作出函数f(x)=|log2x|的图象如图.
由题意可得0<m<1<n,∴0<m2<m,结合图象可知函数f(x)在[m2,n]上的最大值为f(m2),则有-log2m2=2,m2=2-2=.故选A.
类型三 指数和对数函数的综合问题
例题3
(1)()设函数f(x)=
(1)若a=1,则f(x)的最小值为________;
(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.
(1)a=1时,
f(x)=
当x<1时,f(x)∈(-1,1),f(x)无最小值;
当x≥1时,f(x)在为减函数,在为增函数,当x=时,f(x)取得最小值为-1.
(2)①若函数g(x)=2x-a在x<
1时与x轴有一个交点,则a>
0,并且当x=1时,g
(1)=2-a>
0,则0<
a<
2;
此时函数h(x)=4(x-a)(x-2a)与x轴只有一个交点,所以2a≥1且a<
1,则≤a<
1.综合得≤a<1.
②若函数g(x)=2x-a与x轴有无交点,则函数h(x)=4(x-a)(x-2a)与x轴有两个交点.当a≤0时,g(x)与x轴无交点,h(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)与x轴也无交点,不合题意;
当g
(1)=2-a≤0时,a≥2,h(x)与x轴有两个交点,其横坐标为x=a和x=2a,由于a≥2,两交点横坐标均满足x≥1,符合题意.
综合①②可得a的取值范围为≤a<
1或a≥2.
故填-1;
∪[2,+∞).
(2) 已知函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
(1)当x<0时,f(x)=0;
当x≥0时,f(x)=2x-.
由条件可知2x-=2,即22x-2·
2x-1=0,解得2x=1±
∵2x>0,∴2x=1+,即x=log2(1+).
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
∵2t>0,两边同乘以2t,即得m(22t-1)≥-(24t-1).
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).
∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).
(2)已知f(x)=lg,f
(1)=0,当x>
0时,恒有f(x)-f=lgx.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=lg(m+x)的解集是∅,求实数m的取值范围.
(1)∵当x>
0时,f(x)-f=lgx恒成立,
∴lg-lg=lgx,即(a-b)x2-(a-b)x=0.
∵x≠0,∴上式若恒成立,则只能有a=b,
又f
(1)=0,即a+b=2,从而a=b=1,∴f(x)=lg.
(2)由lg=lg(m+x)知
即
由于方程的解集为∅,故有如下两种情况:
①方程x2+(m-1)x+m=0无解,即Δ<
0,
解得3-2<
m<
3+2;
②方程x2+(m-1)x+m=0有解,两根均在区间[-1,0]内,令g(x)=x2+(m-1)x+m,则有
即无解.
综合①②知,实数m的取值范围是{m|3-2<
3+2}.
类型四 幂函数的图象与性质
例题4 如图,曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取2,3,,-1四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为.
解法一(数形结合法):
如图,作直线x=t(t>
1),由于函数y=xn的图象与直线x=t的交点为(t,tn),可见指数n的大小与图象交点的“高低”是一致的,结合图象,可得答案.
解法二(特殊值法):
当x=2时,y1=23=8,y2=22=4,y3=20.5=,y4=2-1=,∵8>
4>>,∴y1>y2>y3>y4,故填3,2,,-1.
变式4 ()在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y=x,y=,y=x2,y=x3,y=x-1的部分图象,则函数y=的图象通过的阴影区域是( )
函数y=的图象位于函数y=x与y=x2的图象之间,对比各选项中的阴影区域,知C正确.故选C.
方法规律总结
1.指数函数的图象、性质在应用时,如果底数a的取值范围不确定,则要对其进行分类讨论.
2.比较两个幂的大小,首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同,可利用指数函数的单调性;
如果指数相同,可转化为底数相同,或利用幂函数的单调性,也可借助函数图象;
如果指数不同,底数也不同,则要利用中间量.
3.熟练掌握指数式与对数式的互化,它不仅体现了两者之间的相互关系,而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径.
4.作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象应分别抓住三个点,(0,1),(1,a)和,(1,0),(a,1).
5.比较两个对数的大小的基本方法
(1)若底数为同一常数,则由对数函数的单调性直接进行判断;
若底数为同一字母,则需对这一字母进行分类讨论.
(2)若底数不同真数相同,则可先换底再进行比较.
(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
6.幂函数的图象特征与指数的大小关系,大都可通过幂函数的图象与直线x=2或x=的交点纵坐标的大小反映.一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y=x0).
7.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,则要看函数的定义域和奇偶性.函数的图象最多只能同时出现在两个象限内,如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
8.判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数,一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式.如f(x)=2x2不是指数函数,而f(x)=23x是指数函数,因为f(x)=23x=8x,此时a=8,同样f(x)=2x+1也不是指数函数,因为f(x)=2x+1=2·
2x,不是f(x)=ax(a>0,且a≠1)的形式.
课后作业
1.()已知幂函数