圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式goodWord文档格式.doc

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当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

引论

（1）若

则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆

当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线

当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2）若

当0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当e＞1时!

方程表示极点在上焦点的双曲线

（3）

当0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向下的抛物线

方程表示极点在下焦点的双曲线

（2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，

1、椭圆中，，.

2、双曲线中，（注释：

双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。

）

若M、N在双曲线同一支上，；

若M、N在双曲线不同支上，.

3、抛物线中，

例1过双曲线的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B两点，求

解：

根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系

即得

所以

又由

得

注释：

求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对v加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。

点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是;

对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是;

对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是-或

为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用

变式练习：

等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A,B两点，求

求

附录直角坐标系中的焦半径公式

设P（x,y）是圆锥曲线上的点，

1、若、分别是椭圆的左、右焦点，则，；

2、若、分别是双曲线的左、右焦点，

当点P在双曲线右支上时，，；

当点P在双曲线左支上时，，；

3、若F是抛物线的焦点，.

利用弦长求面积

点极径一个为正值一个为负值,长是或

高考题（08年海南卷）过椭圆的焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．

简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式求弦长，然后利用公式直接得出答案。

变式（2005年全国高考理科）已知点为椭圆的左焦点.过点的直线与椭圆交于、两点，过且与垂直的直线交椭圆于、两点，求四边形面积的最小值和最大值.

解析以点为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：

设直线的倾斜角，则直线的倾斜角为，由极坐标系中焦点弦长公式知：

，

用他们来表示四边形的面积

即求的最大值与最小值

由三角知识易知：

当时，面积取得最小值；

当时，面积取得最大值

利用弦长公式解决常量问题

例一．过椭圆的左焦点F，作倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若，求椭圆的离心率.

简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。

设椭圆的极坐标方程为则，

∴，解得；

变式求过椭圆的左焦点，且倾斜角为的弦长和左焦点到左准线的距离。

先将方程化为标准形式：

则离心率，，

所以左焦点到左准线的距为2。

设，代入极坐标方程，则弦长

（3）定值问题

例1.抛物线的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：

定值。

以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为，设

将A,B两点代入极坐标方程，得

则==（定值）

点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。

推论：

若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有

例二：

经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证为定值。

证明：

以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为，又设则代入可得

，则

注释。

此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。

注意使用的范围。

推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。

需要以原点为极点建立极坐标方程。

推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。

例三（2007重庆理改编）中心在原点的椭圆，点是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点使．

为定值，并求此定值．

解析：

以点为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：

，设点对应的极角为，则点与对应的极角分别为、，、与的极径就分别是、与，因此，而在三角函数的学习中，我们知道，因此

为定值

点睛：

极坐标分别表示、与，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．

推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？

推广2设椭圆上的n个点，且圆周角等分则也为定值

作业

（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆的焦点作倾斜角为60°

的直线和椭圆相交于A，B两点，．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，求椭圆方程