六年级奥数一至十讲教案.doc

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小学六年级奥数教案—01比较分数的大小

　　同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

　　对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：

　　分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；

　　分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

　　第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

　　由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

　　1.“通分子”。

　　当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

　　如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

　　2.化为小数。

　　这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

　　3.先约分，后比较。

　　有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

　　4.根据倒数比较大小。

　　5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

也就是说，

　　6.借助第三个数进行比较。

有以下几种情况：

（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。

（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。

　　前一个差比较小，所以m＜n。

　　（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。

　　注意，

（2）与（3）的差别在于，

（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。

　　（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。

新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。

　　利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。

　　比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：

“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。

练习1

　　1.比较下列各组分数的大小：

答案与提示练习1

小学六年级奥数教案—02巧求分数

　　我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。

这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。

数。

　　分析：

若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。

个分数。

　　分析与解：

因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。

，这个分数是多少？

　　分析与解：

如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：

　　这个分数是多少？

　　于是与例3类似，可以求出

　　在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？

　　数a。

　　分析与解：

分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。

约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉

45-43=2。

求这个自然数。

同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变

　　例7一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，

分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到

　　分析与解：

分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加

8×2=16。

　　在例8中，分母应加的数是

　　在例9中，分子应加的数是

　　由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：

　　分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；

　　分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。

　　分析与解：

这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。

　　（2x+2）×3=（x+5）×4，

　　6x+6=4x+20，

　　2x=14，

　　x=7。

练习2

　　是多少？

答案与提示练习2

　　5.5。

解：

（53+79）÷（4+7）=12，a=53-4×12=5。

　　6.13。

解：

（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。

　　解：

设分子为x，根据分母可列方程

小学六年级奥数教案—03分数运算技巧

　　对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

　　1.凑整法

　　与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

　　2.约分法

　　3.裂项法

　　若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。

　　例7在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。

　　分析与解：

这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的

就非常简单了。

括号。

此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：

　　所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。

的10和30，仍是符合题意的解。

　　4.代数法

　　5.分组法

　　分析与解：

利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。

分母为n的分数之和为

　　原式中分母为2～20的分数之和依次为

练习3

　8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。

答案与提示　 练习3

　　1.3。

　　8.2，6，8，12，20，30，42，56。

　　9.5680。

　　解：

从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有（n-1）个。

分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个），

5671+9=5680（个）。

小学六年级奥数教案—05工程问题一

　　顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

　　在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：

　　工作量=工作效率×工作时间，

　　工作时间=工作量÷工作效率，

　　工作效率=工作量÷工作时间。

　　工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可

　　工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

　　工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

　　例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？

　　分析与解：

以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天，甲的工作效

　　例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问：

甲队干了多少天？

　　分析：

将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？

”这样一来，问题就简单多了。

　　答：

甲队干了12天。

　　例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：

甲队实际工作了几天？

　　分析与解：

乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了

　　例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。

如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。

这批零件共有多少个？

　　分析与解：

这道题可以分三步。

首先求出两人合作完成需要的时间，

　　例5一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。

如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？

　　例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。

走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。

出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。

甲再出发后多长时间两人相遇？

　　分析：

这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。

甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。

我们将题目改述一下：

完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？

由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。

　　答：

甲再出发后15分钟两人相遇。

练习5

　　1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？

　　2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。

甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。

求乙队在中间单独工作的天数。

　　3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。

现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。

这条水渠由甲队单独挖需多少天？

　　则完成任务时乙比甲多植50棵。

这批树共有多少棵？

　　5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。

现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。

这段公路长多少米？

　　6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。

如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？

　　7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从

　　40千米。

求甲、乙两地的距离。

答案与提示 练习5

　　2.14天。

　　3.120天。

　　4.350棵。

　　5.6000米。

　　6.8时。

　　提示：

甲管12时都开着，乙管开

　　7.280千米。

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