函数对称性、周期性全解析Word文档下载推荐.doc
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设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于对称。
,函数关于点对称
(3)函数关于点对称:
假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。
但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称,比如圆它会关于y=0对称。
4、周期性:
(1)函数满足如下关系系,则
A、B、
C、或(等式右边加负号亦成立)
D、其他情形
(2)函数满足且,则可推出即可以得到的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”
(3)如果奇函数满足则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为,根据可以找出其对称中心为(以上)
如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为,根据可以推出对称轴为(以上)
(4)如果奇函数满足(),则函数是以4T为周期的周期性函数。
如果偶函数满足(),则函数是以2T为周期的周期性函数。
定理3:
若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.
定理4:
定理5:
二、两个函数的图象对称性
1、与关于X轴对称。
换种说法:
与若满足,即它们关于对称。
2、与关于Y轴对称。
3、与关于直线对称。
4、与关于直线对称。
5、关于点(a,b)对称。
与若满足,即它们关于点(a,b)对称。
6、与关于直线对称。
7、函数的轴对称:
定理1:
如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论1:
推论2:
如果函数满足,则函数的图象关于直线(y轴)对称.特别地,推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
8、函数的点对称:
定理2:
如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论3:
推论4:
如果函数满足,则函数的图象关于原点对称.特别地,推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
三、试题
1.已知定义为R的函数满足,且函数在区间上单调递增.如果,且,则的值(A).
A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负.
分析:
形似周期函数,但事实上不是,不过我们可以取特殊值代入,通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者,先用代替,使变形为
.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增,在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.
,且函数在上单调递增,所以
,又由,
有,
.选A.
当然,如果已经作出大致图象后,用特殊值代人也可猜想出答案为A.
2:
在R上定义的函数是偶函数,且.若在区间上是减函数,则(B)
A.在区间上是增函数,在区间上是减函数
B.在区间上是增函数,在区间上是减函数
C.在区间上是减函数,在区间上是增函数
D.在区间上是减函数,在区间上是增函数
由可知图象关于对称,即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称,可得到为周期函数且最小正周期为2,结合在区间上是减函数,可得如右草图.故选B
3.定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为(D)
A.0 B.1 C.3 D.5
,,
∴,则可能为5,选D.
4.已知函数的图象关于直线和都对称,且当时,.求的值.
由推论1可知,的图象关于直线对称,即,
同样,满足,现由上述的定理3知是以4为周期的函数.
,同时还知是偶函数,所以.
5.,则,,,…,中最多有(B)个不同的值.
A.165 B.177 C.183 D.199
由已知
.
又有
,
于是有周期352,于是能在中找到.
又的图像关于直线对称,故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称,故这些值可以在中找到.共有177个.选B.
6:
已知,,,…,,则(A).
A. B. C. D.3
由,知,,.
为迭代周期函数,故,,.
选A.
7:
函数在R上有定义,且满足是偶函数,且,是奇函数,则的值为.
解:
,,令,则,即有,令,则,其中,,,
.或有,得
8.设函数为奇函数,则(c)
A.0 B.1 C. D.5
答案为B。
先令f
(1)=f(--1+2)=f(--1)+f
(2)=1/2,根据奇函数的定义可求得f(--1)=--1/2,所以,
f
(2)=1,f(5)=f(3)+f
(2)=f
(1)+f
(2)+f
(2)=5/2,所以,答案为c。
9.设f(x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y=f(x)的图象关于直线x=3对称,则下面正确的结论是(B)
(A);
(B);
(C);
(D)
做这种带周期性、单调性的试题,通常的做法是将f(x)设成正弦或余弦函数,具体到本题,可将f(x)设成正弦函数或余弦函数,令其周期为6,通过平移使其满足在(0,3)内单调递减,根据图像,即可求出,答案为B。
10.设函数与的定义域是,函数是一个偶函数,是一个奇函数,且,则等于(C)
A. B. C. D.
答案为C.本题是考察函数奇偶性的判定,并不难,根据奇偶性的定义,即可得出答案为C高考资源网
11:
已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<
x<
1时f(x)<
0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明:
(1)f(x)为奇函数;
(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.
证明:
(1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.令0<
x1<
x2<
1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f()
∵0<
1,∴x2-x1>
0,1-x1x2>
0,∴>
0,
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<
0,∴x2-x1<
1-x2x1,∴0<
<
1,由题意知f()<
0,
即 f(x2)<
f(x1).∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0∴f(x)在(-1,1)上为减函数.
12.已知函数y=f(x)是定义在上的周期函数,周期T=5,函数是奇函数又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值.
①证明:
;
②求的解析式;
③求在[4,9]上的解析式.
∵f(x)是以为周期的周期函数,∴,
又∵是奇函数,∴,∴
②当时,由题意可设,
由得,∴,
∴
③∵是奇函数,∴,
又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,∴可设,而,
∴,∴当时,f(x)=-3x,
从而当时,,故时,f(x)=-3x,.
∴当时,有,∴0.
当时,,∴
13.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称对任意x1,x2∈[0],都有f(x1+x2)=f(x1)·
f(x2),且f
(1)=a>0.
(Ⅰ)求f;
(Ⅱ)证明f(x)是周期函数;
(Ⅲ)记=f(2n+),求.
(Ⅰ)解:
因为对x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·
f(x2),
所以
f(1)=a>0,
∴
(Ⅱ)证明:
依题设y=f(x)关于直线x=1对称,
故f(x)=f(1+1-x),
即f(x)=f(2-x),x∈R
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,
∴f(-x)=f(2-x),x∈R,
将上式中-x以x代换,得f(x)=f(x+2),x∈R
这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.
(Ⅲ)解:
由(Ⅰ)知f(x)≥0,x∈[0,1]
∵
∴
∵f(x)的一个周期是2
∴f(2n+)=f(),因此an=
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
湖南周友良黄爱民
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对称性和周期性是函数的两个重要性质,下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论
(一)函数图象本身的对称性(自身对称)
1、函数
满足
(T为常数)的充要条件是
的图象关于直线
对称。
2、函数
3、函数
的充要条件是
图象关于直线
4、如果函数
且
,(
和
是不相等的常数),则
是以为
为周期的周期函数。
5、如果奇函数
(
),则函数
是以4T为周期的周期性函数。
6、如果偶函数
是以2T为周期的周期性函数。
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、曲线
与
关于X轴对称。
2、曲线
关于Y轴对称。
3、曲线
关于直线
4、曲线
对称曲线为
。
5、曲线
6、曲线
对称曲线为