函数恒成立存在性及有解问题Word格式.doc
《函数恒成立存在性及有解问题Word格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数恒成立存在性及有解问题Word格式.doc(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)
1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。
2、已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若上恒成立,求的取值范围;
题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)
1、当时,不等式恒成立,则的取值范围是.
题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法))
1、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是________
2、已知函数,在恒有,求实数的取值范围。
题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上;
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.
1、存在实数,使得不等式有解,则实数的取值范围为______。
2、已知函数存在单调递减区间,求的取值范围
小结:
恒成立与有解的区别
恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体。
①不等式对时恒成立,。
即的上界小于或等于;
②不等式对时有解,。
或的下界小于或等于;
③不等式对时恒成立,。
即的下界大于或等于;
④不等式对时有解,.。
或的上界大于或等于;
课后作业:
1、设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为()
(A)(B) (C) (D)
2、若任意满足的实数,不等式恒成立,则实数的最大值是___.
3、不等式有解,则的取值范围是
4、不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。
5、已知两函数,。
(1)对任意,都有)成立,求实数的取值范围;
(2)存在,使成立,求实数的取值范围;
(3)对任意,都有,求实数的取值范围;
(4)存在,都有,求实数的取值范围;
6、设函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的不等式成立,求a的取值范围。
7、已知A、B、C是直线上的三点,向量,,满足:
.
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)若x>0,证明:
f(x)>;
(3)若不等式时,及都恒成立,求实数m的取值范围.
8、设,且(e为自然对数的底数)
(I) 求p与q的关系;
(II)若在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(III)设,若在上至少存在一点,使得成立,求实数p的取值范围.
函数专题4:
恒成立问题参考答案:
1、分析:
1)思路、等价转化为函数恒成立,在通过分离变量,创设新函数求最值解决.
2)思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值,即只需满足即可.
简解:
(1)由成立,只需满足的最小值大于即可.对求导,,故在是增函数,,所以的取值范围是.
2、分析:
思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.
方法1:
化归最值,;
方法2:
变量分离,或;
方法3:
变更主元,,
方法1:
对求导,,
由此可知,在上的最大值为与中的较大者.
,对于任意,得的取值范围是.
3、解析:
对任意,存在,使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0,既,∴
1、解:
不等式即,设,则在[-2,2]上恒大于0,故有:
或
2、
O
(Ⅱ)分析:
在不等式中出现了两个字母:
及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。
显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。
(Ⅱ)略解:
由(Ⅰ)知:
,,在上单调递减,在上恒成立,,只需,(其中)恒成立,由上述②结论:
可令,则,,而恒成立,。
解析:
当时,由得.∴.
1、解析:
对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知,即。
为了使在恒成立,构造一个新函数,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。
解:
令,则对恒成立,而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足,即,解得。
②当图象与x轴有交点,且在时,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得:
解得,故由①②知。
若二次函数大于0恒成立,则有,同理,若二次函数小于0恒成立,则有。
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
设,由有解,,
又,∴,解得。
2、解:
因为函数存在单调递减区间,所以
有解.即能成立,设.
由得,.于是,,
由题设,所以a的取值范围是
1、B。
解析:
由方程可得,对于任意的,可得,依题意得。
2、答案:
。
由不等式可得,由线性规划可得。
3、解:
原不等式有解有解,而,所以。
x
y
3
4、解:
画出两个凼数和在
上的图象如图知当时,
当,时总有所以
5、解析:
(1)设,问题转化为时,恒成立,故。
令,得或。
由导数知识,可知在单调递增,在单调递减,在单调递增,且,,,,∴,由,得。
(2)据题意:
存在,使成立,即为:
在有解,故,由
(1)知,于是得。
(3)它与
(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意,都有成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,,的取值在上具有任意性,∴要使不等式恒成立的充要条件是:
∵∴,
∵,∴在区间上只有一个解。
∴,∴,即.
(4)存在,都有,等价于,由(3)得,,
点评:
本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确使用其成立的充要条件。
6、解:
(Ⅰ) (1分)
令得的单调递增区间为(a,3a)
令得的单调递减区间为(-,a)和(3a,+) (4分)
∴当x=a时,极小值=
当x=3a时,极小值=b. (6分)
(Ⅱ)由||≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.①(7分)
∵0<
a<
1,∴a+1>
2a.
∴上是减函数. (9分)
∴
于是,对任意,不等式①恒成立,等价于
又∴
7、解:
(1)∵-[y+2f/
(1)]+ln(x+1)=0,∴=[y+2f/
(1)]-ln(x+1)
由于A、B、C三点共线 即[y+2f/
(1)]+[-ln(x+1)]=1…………………2分
∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f/
(1)
f/(x)=,得f/
(1)=,故f(x)=ln(x+1)…………………………………4分
(2)令g(x)=f(x)-,由g/(x)=-=
∵x>0,∴g/(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数………………6分
故g(x)>g(0)=0
即f(x)>………………………………………………………………8分
(3)原不等式等价于x2-f(x2)≤m2-2bm-3
令h(x)=x2-f(x2)=x2-ln(1+x2),由h/(x)=x-=……………10分
当x∈[-1,1]时,h(x)max=0,∴m2-2bm-3≥0
令Q(b)=m2-2bm-3,则
得m≥3或m≤-3……………12分
8、解:
(I)由题意得而,所以
(II) 由(I)知,……4分
令,要使在其定义域(0,+¥
)内为单调函数,只需h(x)在(0,+¥
)内满足:
h(x)≥0或h(x)≤0恒成立. …………5分
①当时,,所以在(0,+¥
)内为单调递减,故;
②当时,,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为,
∴,只需,即p≥1时,h(x)≥0,,
∴ f(x)在(0,+¥
)内为单调递增,故p≥1适合题意. 综上可得,p≥1或p≤0
另解:
(II) 由(I)知f(x)=px--2lnxf’(x)=p+-=p(1+)-
要使f(x)在其定义域(0,+¥
)内为单调函数,只需f’(x)在(0,+¥
f’(x)≥0或f’(x)≤0恒成立.
由f’(x)≥0Û
p(1+)-≥0Û
p≥Û
p≥()max,x>
0
∵ ≤=1,且x=1时等号成立,故()max=1
∴ p≥1
由f’(x)≤0Û
p(1+)-≤0Û
p≤Û
p≤()min,x>
而>
0且x→0时,→0,故p≤0
综上可得,p≥1或p≤0
(III) ∵ g(x)=在[1,e]上是减函数
∴ x=e时,g(x)min=2,x=1时,g(x)max=2e
即 g(x)Î
[2,2e] …………10分
①p≤0时,由(II)知f(x)在[1,e]递减Þ
f(x)max=f
(1)=0<
2,不合题意。
②0<
p<
1时,由xÎ
[1,e]Þ
x-≥0
∴ f(x)=p(x-)-2lnx≤x--2lnx
右边为f(x)当p=1时的表达式,故在[1,e]递增
∴ f(x)≤x--2lnx≤e--2lne=e--2<
③p≥1时,由(II)知f(x)在[1,e]连续递增,f
(1)=0<
2,又g(x)在[1,e]上是减函数
∴ 本命题Û
f(x)max>
g(x)min=2,xÎ
[1,e]
Þ
f(x)max=f(e)=