全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版Word文件下载.doc
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【答案】C
【解析】易知,故,,选C
【考点】共轭复数、复数运算
(3)已知向量,=(,),则
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【答案】A
【解析】法一:
,
法二:
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系,易知
【考点】向量夹角的坐标运算
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为,B点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于的月份有5个
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于的月份有七月、八月,六月为左右,故最多3个
【考点】统计图的识别
(5)若,则
A.B.C.1D.
【解析】
【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
(6)已知,则
【解析】,故
【考点】指数运算、幂函数性质
(7)执行右面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】列表如下
4
2
6
-2
10
16
20
1
3
【考点】程序框图
(8)在中,,边上的高等于,则
A.B.C.D.
【解析】如图所示,可设,则,,,由余弦定理知,
【考点】解三角形
(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
A.B.C.90D.81
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体,上下底面为俯视图的一半,各个侧面平行四边形,故表面积为
【考点】三视图、多面体的表面积
(10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是
【解析】由题意知,当球为直三棱柱的内接球时,体积最大,选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面,如图所示,则由切线长定理可知,内接圆的半径为2,
又,所以内接球的半径为,即的最大值为
【考点】内接球半径的求法
(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.
P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
【解析】易得
【考点】椭圆的性质、相似
(12)定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个 B.16个 C.14个 D.12个
【考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分
(13)设x,y满足约束条件,则的最大值为________.
【答案】
【解析】三条直线的交点分别为,代入目标函数可得,故最小值为
【考点】线性规划
(14)函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到.
【解析】,故可前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到
【考点】三角恒等变换、图像平移
(15)已知f(x)为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是______
,,,故切线方程为
当时,,,故切线方程为
【考点】奇偶性、导数、切线方程
(16)已知直线:
与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则__________.
【答案】3
【解析】如图所示,作于,作于,,即
∴直线l的倾斜角为30°
【考点】直线和圆、弦长公式
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明是等比数列,并求其通项公式;
(2)若,求λ.
(1);
(2)
解:
(1)
当时,
即,
即
∴是等比数列,公比,
当n=1时,,
(2)若
则
【考点】等比数列的证明、由求通项、等比数列的性质
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:
,,,≈2.646.
参考公式:
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(1)见解析;
(2),1.82亿吨
(1)由题意得,
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系
(2)
所以关于的线性回归方程为
将代入回归方程可得,
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
【考点】相关性分析、线性回归
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(1)见解析;
(1)由已知得,取的中点,连接,
由为中点知,.......3分
又,故平行且等于,四边形为平行四边形,
于是.
因为平面,平面,所以平面.........6分
(2)取中点,连接,则易知,又面,故可以为坐标原点,以为轴,以为轴,以为轴建立空间直角坐标系,
则
故平面的法向量
直线与平面所成角的正弦值为
【考点】线面平行证明、线面角的计算
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
(1)法一:
由题设.设,则,且
.
记过两点的直线为,则的方程为......3分
由于在线段上,故.
记的斜率为,的斜率为,则
所以.......5分
证明:
连接RF,PF,
由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°
∴∠PFQ=90°
∵R是PQ的中点,
∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR,
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,
∵∠BQF+∠BFQ=180°
﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,
∴∠FQB=∠PAR,
∴∠PRA=∠PQF,
∴AR∥FQ.
(2)设与轴的交点为,
则.
由题设可得,所以(舍去),.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时,由可得.
而,所以.
当与轴垂直时,与重合.所以,所求轨迹方程为.....12分
【考点】抛物线、轨迹方程
(21)(本小题满分12分)
设函数,其中,记的最大值为.
(1)求;
(2)求;
(3)证明:
【答案】见解析
(2)当时,
因此,.
当时,将变形为.
令,则是在上的最大值,
,,且当时,取得极小值,
极小值为.
令,解得(舍去),.
①当时,在内无极值点,,,,所以.
②当时,由,知.
又,所以.
综上,.
(3)由
(1)得.
当时,.
当时,,所以.
【考点】导函数讨论单调性、不等式证明
请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修:
几何证明选讲
如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点。
(I)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD。
(1)连结,则.
因为,所以,又,所以.
又,所以,因此.
(2)因为,所以,由此知四点共圆,其圆心既在的垂直平分线上,又在的垂直平分线上,故就是过四点的圆的圆心,所以在的垂直平分线上,因此.
【考点】几何证明选讲
(23)(本小题满分10分)选修:
坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(为参数)。
以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求的最小值及此时P的直角坐标.
(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.……5分
(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值,
即为到的距离的最小值,.
………………8分
当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
………………10分
【考点】坐标系与参数方程
(24)(本小题满分10分),选修:
不等式选讲
已知函数.
(1)当a=2时,求不等式的解集;
(2)设函数.当时,,求a的取值范围。
(1);
(1)当时,.
解不等式,得.
因此,的解集为.………………5分
(2)当时,
当时等号成立,
所以当时,等价于.①……7分
当时,①等价于,无解.
当时,①等价于,解得.
所以的取值范围是.